ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1005 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если \(x > 0\) и \(y > 0\), то:
a) \(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\);
б) \(\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} \geq x + y\).

Часть a:
Доказать: \(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)

1. Приведём к общему знаменателю.
2. Сгруппируем и упростим числитель.
3. Получим: \(\frac{(x + y)(x — y)^2}{x^2y^2} \geq 0\)
4. Так как \((x — y)^2 \geq 0\), неравенство выполнено.

Часть b:
Доказать: \(\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} \geq x + y\)

1. Приведём к общему знаменателю.
2. Сгруппируем и упростим числитель.
3. Получим: \(\frac{(x + y)(x — y)^2}{xy} \geq 0\)
4. Так как \((x — y)^2 \geq 0\), неравенство выполнено.

Оба неравенства доказаны.

Часть a:

Доказать: \(\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} \geq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\)

Перепишем неравенство:

Объединим дроби:

Приведём к общему знаменателю:

Сгруппируем:

Разложим числитель:

Упростим:

Приведём к квадрату:

Так как \((x + y) > 0\) и \((x — y)^2 \geq 0\), неравенство выполнено.

Доказано.

Часть b:

Доказать: \(\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} \geq x + y\)

Перепишем неравенство:

Приведём к общему знаменателю:

Сгруппируем:

Разложим числитель:

Упростим:

Приведём к квадрату:

Так как \((x + y) > 0\) и \((x — y)^2 \geq 0\), неравенство выполнено.

Доказано.