ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 1004 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите неравенство:
a) \(a^2 + b^2 + 4 \geq 2(a + b + 1)\);
б) \(4a^2 + b^2 > 4(a + b — 2)\).

a) \(a^2 + b^2 + 4 \geq 2(a + b + 1)\)
\[
a^2 + b^2 + 4 — 2a — 2b — 2 \geq 0
\]
\[
a^2 — 2a + b^2 — 2b + 2 \geq 0
\]
\[
a^2 — 2a + 1 + b^2 — 2b + 1 \geq 0
\]
\[
(a — 1)^2 + (b — 1)^2 \geq 0
\]
Доказано.

б) \(4a^2 + b^2 > 4(a + b — 2)\)
\[
4a^2 + b^2 — 4a — 4b + 8 > 0
\]
\[
4a^2 — 4a + 1 + b^2 — 4b + 4 + 3 > 0
\]
\[
(2a — 1)^2 + (b — 2)^2 + 3 > 0
\]
Доказано.

Часть a:

Доказать: a² + b² + 4 ≥ 2(a + b + 1)

Перепишем неравенство:

Сгруппируем члены:

Приведём к полным квадратам:

Это эквивалентно:

Квадраты любых чисел неотрицательны, поэтому неравенство выполнено.

Доказано.

Часть b:

Доказать: 4a² + b² > 4(a + b — 2)

Перепишем неравенство:

Сгруппируем члены:

Приведём к полным квадратам:

Сумма квадратов и положительного числа (3) всегда больше 0, поэтому неравенство выполнено.

Доказано.