ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 997 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В геометрической прогрессии (bn) b1 + b2 = 30, b2 + b3 = 20. Найдите первые три члена этой прогрессии.

Геометрическая прогрессия: \(b_1 + b_2 = 30, \, b_2 + b_3 = 20\);

1) Из первого равенства:
\(b_1 + b_2 = 30, \, b_1 + b_1q = 30;\)

\[b_1(1 + q) = 30, \, b_1 = \frac{30}{1 + q};\]

2) Из второго равенства:

\(b_2 + b_3 = 20, \, b_1q + b_1q^2 = 20;\)

\[b_1q \cdot (1 + q) = 20, \, 30q = 20;\]

\[q = \frac{2}{3}, \, b_1 = \frac{30}{\frac{5}{3}} = 18;\]

3) Искомые члены:

\[b_2 = b_1q = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12;\]

\[b_3 = b_2q = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8;\]

Ответ: 18; 12; 8.

В геометрической прогрессии \( (b_n) \) даны условия: \( b_1 + b_2 = 30 \), \( b_2 + b_3 = 20 \). Необходимо найти первые три члена этой прогрессии.

Шаг 1: Запишем уравнения на основе данных условий:

\[
b_1 + b_2 = 30, \quad b_2 + b_3 = 20
\]

Геометрическая прогрессия имеет вид, где каждый следующий член равен предыдущему, умноженному на некоторую константу \( q \) (знаменатель прогрессии). То есть:

\[
b_2 = b_1 \cdot q, \quad b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2
\]

Шаг 2: Подставим выражения для \( b_2 \) и \( b_3 \) в наши уравнения.

Из первого уравнения: \( b_1 + b_2 = 30 \), подставляем \( b_2 = b_1 \cdot q \):

\[
b_1 + b_1 q = 30
\]

Вынесем \( b_1 \) за скобки:

\[
b_1(1 + q) = 30
\]

Теперь выразим \( b_1 \):

\[
b_1 = \frac{30}{1 + q}
\]

Шаг 3: Теперь используем второе уравнение \( b_2 + b_3 = 20 \), подставляем \( b_2 = b_1 \cdot q \) и \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \):

\[
b_1 q + b_1 q^2 = 20
\]

Вынесем \( b_1 q \) за скобки:

\[
b_1 q(1 + q) = 20
\]

Подставим выражение для \( b_1 \), которое мы нашли ранее:

\[
\frac{30}{1 + q} \cdot q \cdot (1 + q) = 20
\]

Упростим уравнение, заметив, что \( (1 + q) \) сокращается:

\[
30q = 20
\]

Теперь решим относительно \( q \):

\[
q = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}
\]

Шаг 4: Найдем \( b_1 \), подставив значение \( q = \frac{2}{3} \) в выражение для \( b_1 \):

\[
b_1 = \frac{30}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{30}{\frac{5}{3}} = 30 \cdot \frac{3}{5} = 18
\]

Шаг 5: Теперь найдем \( b_2 \) и \( b_3 \):

\[
b_2 = b_1 \cdot q = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12
\]

\[
b_3 = b_2 \cdot q = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8
\]

Ответ: Первые три члена прогрессии: \( 18, 12, 8 \).