ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 995 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Пятый член геометрической прогрессии (bn) равен 1*1/2, a знаменатель прогрессии равен — 1/2. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии.

Дана прогрессия: \(b_5 = \frac{1}{2}, \, q = -\frac{1}{2}\);

1) Найдем первый член:
\(b_5 = b_1q^4 = \frac{3}{2}, \, b_1q^4 = \frac{3}{2}\);

\(b_1 = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24\);

2) Сумма пяти членов:
\(S_5 = \frac{b_1(1 — q^5)}{1 — q} = \frac{24 \left(1 + \frac{1}{2^5}\right)}{1 + \frac{1}{2}}\);

\(S_5 = 24 \cdot \frac{2}{3} \left(1 + \frac{1}{32}\right) = 16 \cdot \frac{33}{32}\);

\(S_5 = 33 \cdot 0,5 = 16,5\);

Ответ: 16,5.

Заданы переменные:

\(b_5 = \frac{1}{2}\), \(q = -\frac{1}{2}\)

1) Найдем первый член:

Используем формулу для \(b_5\) в геометрической прогрессии:

\[
b_5 = b_1 \cdot q^4 = \frac{3}{2}
\]

Подставляем \(q = -\frac{1}{2}\):

\[
b_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{3}{2}
\]

Вычисляем \(\left(-\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}\):

\[
b_1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{2}
\]

Теперь находим \(b_1\):

\[
b_1 = \frac{3}{2} \cdot 16 = 24
\]

2) Сумма пяти членов:

Используем формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[
S_5 = \frac{b_1(1 — q^5)}{1 — q}
\]

Подставляем значения \(b_1 = 24\) и \(q = -\frac{1}{2}\):

\[
S_5 = \frac{24 \left(1 — \left(-\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1 — \left(-\frac{1}{2}\right)}
\]

Вычисляем \(\left(-\frac{1}{2}\right)^5 = -\frac{1}{32}\) и \(1 — \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}\):

\[
S_5 = \frac{24 \left(1 + \frac{1}{32}\right)}{\frac{3}{2}}
\]

Умножаем на \(\frac{2}{3}\):

\[
S_5 = 24 \cdot \frac{2}{3} \left(1 + \frac{1}{32}\right)
\]

Теперь вычисляем:

\[
S_5 = 16 \cdot \frac{33}{32}
\]

\[
S_5 = \frac{33}{2} = 16,5
\]

Ответ: \(S_5 = 16,5\)