ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 994 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bn), в которой b6 = 1/2 и q = 1/2.

Дана прогрессия: \(b_6 = \frac{1}{2}, \, q = \frac{1}{2}\);

1) Найдем первый член:
\(b_6 = b_1q^5 = \frac{1}{2}, \, b_1q^5 = \frac{1}{2}\);

\(b_1 = \frac{2^5}{2} = 2^4 = 16\);

2) Сумма шести членов:
\(S_6 = \frac{b_1(1 — q^6)}{1 — q} = \frac{16(1 — \frac{1}{2^6})}{1 — \frac{1}{2}}\);

\(S_6 = 16 \cdot 2 \cdot \left(1 — \frac{1}{64}\right) = 32 \cdot \frac{63}{64}\);

\(S_6 = \frac{63}{2} = 31,5\);

Ответ: 31,5.

Заданы переменные:

\(b_6 = \frac{1}{2}\), \(q = \frac{1}{2}\)

1) Найдем первый член:

Используем формулу для \(b_6\) в геометрической прогрессии:

\[
b_6 = b_1 \cdot q^5 = \frac{1}{2}
\]

Теперь подставляем значение \(q = \frac{1}{2}\):

\[
b_1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{2}
\]

Умножаем \( \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} \):

\[
b_1 \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{2}
\]

Теперь находим \(b_1\):

\[
b_1 = \frac{2^5}{2} = 2^4 = 16
\]

2) Сумма шести членов:

Используем формулу для суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[
S_6 = \frac{b_1(1 — q^6)}{1 — q}
\]

Подставляем значения \(b_1 = 16\) и \(q = \frac{1}{2}\):

\[
S_6 = \frac{16(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^6)}{1 — \frac{1}{2}}
\]

Упрощаем выражение для знаменателя:

\[
S_6 = \frac{16(1 — \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = 16 \cdot 2 \cdot \left(1 — \frac{1}{64}\right)
\]

Теперь вычисляем:

\[
S_6 = 32 \cdot \frac{63}{64} = \frac{32 \cdot 63}{64} = \frac{2016}{64} = 31,5
\]

Ответ: \(S_6 = 31,5\)