ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 990 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В арифметической прогрессии (аn) сумма пятого и десятого членов равна -9, а сумма четвёртого и шестого членов равна -4. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

Арифметическая прогрессия:
\(a_5 + a_{10} = -9, \, a_4 + a_6 = -4;\)

1) Второе равенство:
\[
a_5 — d + a_5 + d = -4;
\]

\(2a_5 = -4, \, a_5 = -2;\)

\(a_1 + 4d = -2;\)

\(a_1 = -2 — 4d;\)

2) Первое равенство:
\[
-2 + a_1 + 9d = -9;
\]

\[
-2 — 2 + 5d = -9;
\]

\(5d = -5, \, d = -1;\)

\(a_1 = -2 + 4 = 2;\)

3) Сумма десяти первых членов:
\[
S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9d);
\]

\[
S_{10} = 5(4 — 9) = 5 \cdot (-5) = -25;
\]

Ответ:
\(S_{10} = -25.\)

Заданы переменные:

\(a_5 + a_{10} = -9\), \(a_4 + a_6 = -4\)

1) Второе равенство:

Для второго уравнения \(a_4 + a_6 = -4\) подставляем формулы для \(a_4\) и \(a_6\):

\[
a_5 — d + a_5 + d = -4
\]

Упрощаем уравнение:

\[
2a_5 = -4, \quad a_5 = -2
\]

Теперь подставим значение \(a_5 = -2\) в уравнение для \(a_4\):

\[
a_1 + 4d = -2, \quad a_1 = -2 — 4d
\]

2) Первое равенство:

Теперь подставим \(a_5 = -2\) в первое уравнение \(a_5 + a_{10} = -9\):

\[
-2 + a_1 + 9d = -9
\]

Подставляем \(a_1 = -2 — 4d\):

\[
-2 + (-2 — 4d) + 9d = -9
\]

Упрощаем:

\[
-2 — 2 + 5d = -9
\]

Решаем относительно \(d\):

\[
5d = -5, \quad d = -1
\]

Теперь находим \(a_1\):

\[
a_1 = -2 + 4 = 2
\]

3) Сумма десяти первых членов:

Используем формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[
S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9d)
\]

Подставляем \(a_1 = 2\) и \(d = -1\):

\[
S_{10} = 5(2 \cdot 2 + 9 \cdot (-1)) = 5(4 — 9) = 5 \cdot (-5) = -25
\]

Ответ: \(S_{10} = -25\)