ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 982 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Площадь прямоугольного треугольника равна 44 см2. Если один из его катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2 см, то площадь будет равна 50 см2. Найдите катеты данного треугольника.

Пусть катеты равны \(x\) см и \(y\) см:
\[
\frac{1}{2}xy = 44, \quad \frac{1}{2}(x — 1)(y + 2) = 50;
\]

1) Первое уравнение:
\[
xy = 44 \cdot 2, \quad y = \frac{88}{x};
\]

2) Второе уравнение:
\[
xy + 2x — y — 2 = 100;
\]

\[88 + 2x — \frac{88}{x} — 102 = 0;\]

\[2x — 14 — \frac{88}{x} = 0, \quad x^2 — 7x — 44 = 0;\]

\[D = 7^2 + 4 \cdot 1 \cdot 44 = 49 + 176 = 225, \text{ тогда:}\]

\[x_1 = \frac{7 — 15}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 15}{2} = 11;\]

\[y_1 = \frac{88}{-4} = -22 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{88}{11} = 8;\]

Ответ: \(11\) и \(8\) см.

Заданы уравнения:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{2}xy = 44, \\
\frac{1}{2}(x — 1)(y + 2) = 50
\end{cases}
\]

Решение:

1) Первое уравнение:

Из первого уравнения \( \frac{1}{2}xy = 44 \), умножаем обе стороны на 2:

\[
xy = 44 \cdot 2 = 88
\]

Теперь выразим \( y \) через \( x \):

\[
y = \frac{88}{x}
\]

2) Второе уравнение:

Подставим \( y = \frac{88}{x} \) во второе уравнение \( \frac{1}{2}(x — 1)(y + 2) = 50 \):

\[
\frac{1}{2}(x — 1)\left(\frac{88}{x} + 2\right) = 50
\]

Умножаем обе стороны на 2:

\[
(x — 1)\left(\frac{88}{x} + 2\right) = 100
\]

Раскрываем скобки:

\[
(x — 1)\left(\frac{88}{x} + 2\right) = x \cdot \frac{88}{x} + 2x — \frac{88}{x} — 2 = 88 + 2x — \frac{88}{x} — 2
\]

Приводим к стандартному виду:

\[
88 + 2x — \frac{88}{x} — 2 = 100
\]

Упрощаем:

\[
88 + 2x — \frac{88}{x} — 102 = 0
\]

Переносим все на одну сторону:

\[
2x — 14 — \frac{88}{x} = 0
\]

Умножаем обе стороны на \( x \), чтобы избавиться от дроби:

\[
2x^2 — 14x — 88 = 0
\]

Приводим к стандартному виду:

\[
x^2 — 7x — 44 = 0
\]

3) Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант для уравнения \( x^2 — 7x — 44 = 0 \):

\[
D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225
\]

Корни уравнения:

\[
x_1 = \frac{7 — 15}{2} = -4, \quad x_2 = \frac{7 + 15}{2} = 11
\]

Находим значения \( y \) для каждого корня \( x \):

\[
y_1 = \frac{88}{-4} = -22, \quad y_2 = \frac{88}{11} = 8
\]

Ответ: \( x = 11 \) и \( y = 8 \) см.