ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 978 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каком значении а система уравнений

система

х + Зу = 2,

ху = а

имеет единственное решение?

Система уравнений:
\[
\begin{cases}
x + 3y = 2 \\
xy = a
\end{cases}
\]

1) Первое уравнение:
\[x + 3y = 2, \quad x = 2 — 3y;\]

2) Второе уравнение:
\[xy = a, \quad y(2 — 3y) = a;\]
\[3y^2 — 2y + a = 0;\]

3) Одно решение:
\[D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot a = 0;\]
\[4 = 12a, \quad a = \frac{4}{12} = \frac{1}{3};\]

Ответ: \(\frac{1}{3}\).

Заданы уравнения:

\[
\begin{cases}
x + 3y = 2, \\
xy = a
\end{cases}
\]

Решение:

1) Первое уравнение:

Из первого уравнения \( x + 3y = 2 \), выразим \( x \):

\[
x = 2 — 3y
\]

2) Подставляем \( x = 2 — 3y \) во второе уравнение:

Подставляем в уравнение \( xy = a \):

\[
y(2 — 3y) = a
\]

Раскрываем скобки:

\[
2y — 3y^2 = a
\]

Приводим к стандартному виду:

\[
3y^2 — 2y + a = 0
\]

3) Одно решение:

У нас есть квадратное уравнение \( 3y^2 — 2y + a = 0 \). Чтобы оно имело одно решение, дискриминант должен быть равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 3 \), \( b = -2 \), и \( c = a \). Рассчитаем дискриминант:

\[
D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot a = 4 — 12a
\]

Для того, чтобы уравнение имело одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

\[
4 — 12a = 0
\]

Решаем это уравнение:

\[
12a = 4, \quad a = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}
\]

Ответ: \( a = \frac{1}{3} \)