ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 945 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Катер прошёл 75 км по течению реки и столько же против течения. На весь путь он затратил в 2 раза больше времени, чем ему понадобилось бы, чтобы пройти 80 км в стоячей воде. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения равна 5 км/ч?

Пусть скорость катера \( x \) км/ч:

\[
\frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5} = 2 \cdot \frac{80}{x}; \quad \frac{15}{x+5} + \frac{15}{x-5} = \frac{32}{x};
\]

\[
15x(x-5) + 15x(x+5) = 32(x+5)(x-5);
\]

\[
15x^2 — 75x + 15x^2 + 75x = 32(x^2 — 25);
\]

\[
30x^2 = 32x^2 — 800, \quad 2x^2 = 800;
\]

\[
x^2 = 400, \quad x = \pm 20;
\]

Ответ: 20 км/ч.

Зададим переменную:

x км/ч — скорость катера;

Решение:

Исходное уравнение:

\[
\frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5} = 2 \cdot \frac{80}{x};
\]

Умножим обе части уравнения на \( x(x+5)(x-5) \) (общий знаменатель), чтобы избавиться от дробей:

\[
x(x-5)(x+5) \left( \frac{75}{x+5} + \frac{75}{x-5} \right) = x(x-5)(x+5) \cdot 2 \cdot \frac{80}{x};
\]

После умножения на общий знаменатель получаем:

\[
15x(x-5) + 15x(x+5) = 32(x+5)(x-5);
\]

Теперь раскрываем скобки в обеих частях уравнения:

\[
15x^2 — 75x + 15x^2 + 75x = 32(x^2 — 25);
\]

Собираем подобные члены:

\[
30x^2 = 32x^2 — 800;
\]

Переносим все на одну сторону:

\[
30x^2 — 32x^2 = -800;
\]

\[
-2x^2 = -800;
\]

Делим обе части на -2:

\[
x^2 = 400;
\]

Теперь находим \( x \), извлекая квадратный корень:

\[
x = \pm 20;
\]

Ответ: Положительное решение \( x = 20 \) км/ч, так как скорость не может быть отрицательной.