ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 914 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Преобразуйте выражение:

\[
a) \ \frac{1}{2} + \left( \frac{3m}{1 — 3m} + \frac{2m}{3m + 1} \right) \cdot \frac{9m^2 — 6m + 1}{6m^2 + 10m} =
\]

\[
= \frac{1}{2} + \frac{3m(3m + 1) + 2m(1 — 3m)}{(1 — 3m)(3m + 1)} \cdot \frac{(3m — 1)^2}{2m(3m + 5)} =
\]

\[
= \frac{1}{2} + \frac{9m^2 + 3m + 2m — 6m^2}{-(3m + 1)} \cdot \frac{3m — 1}{2m(3m + 5)} =
\]

\[
= \frac{1}{2} + \frac{m(3m + 5)}{-(3m + 1)} \cdot \frac{3m — 1}{2m(3m + 5)} =
\]

\[
= \frac{1}{2} — \frac{3m — 1}{2(3m + 1)} = \frac{3m + 1 + 1 — 3m}{2(3m + 1)} = \frac{2}{2(3m + 1)} = \frac{1}{3m + 1}.
\]

\[
б) \ \frac{1}{x + y} — \frac{y^2}{xy^2 — x^3} \cdot \frac{x — y}{x^2 + xy + y^2} — \frac{x}{y^2 + xy} =
\]

\[
= \frac{x(y — x) — y^2}{x \cdot (y — x) \cdot (y + x)} — \frac{y \cdot (x — y) — x^2}{xy(x + y)} — \frac{x}{x + y} =
\]

\[
= \frac{xy — x^2 — y^2}{x(y — x)(x + y)} — \frac{xy + y^2 — x^2 — xy}{xy(x + y)} =
\]

\[
= \frac{xy + y^2 — xy + x^2}{y^2 — x^2} = \frac{x^2 + y^2}{y^2 — x^2}.
\]

\[
в) \ \frac{2a + 3}{2a — 3} \cdot \left( \frac{2a^2 + 3a}{4a^2 + 12a + 9} — \frac{3a + 2}{2a + 3} \right) + \frac{4a — 1}{2a — 3} — \frac{a — 1}{a} =
\]

\[
= \frac{2a + 3}{2a — 3} \cdot \frac{2a^2 + 3a — (2a + 3)(3a + 2)}{(2a + 3)^2} + \frac{4a — 1}{2a — 3} — \frac{a — 1}{a} =
\]

\[
= \frac{2a^2 + 3a — 6a^2 — 4a — 9a — 6}{(2a — 3)(2a + 3)} + \frac{4a — 1}{2a — 3} — \frac{a — 1}{a} =
\]

\[
= \frac{-4a^2 — 10a — 6}{(2a — 3)(2a + 3)} + \frac{4a — 1}{2a — 3} — \frac{a — 1}{a} =
\]

\[
= \frac{-4a^2 — 10a — 6 + 8a^2 + 12a — 2a — 3}{(2a — 3)(2a + 3)} — \frac{a — 1}{a} =
\]

\[
= \frac{4a^2 — 9}{4a^2 — 9} — \frac{a — 1}{a} = 1 — \frac{a — 1}{a} = \frac{1}{a}.
\]

\[
г) \ \frac{a + 3}{a^2 + 2a + 1} + \frac{a — 1}{a^2 — 2a — 3} — 1 =
\]

\[
= \frac{(a + 3)(a — 3) + (a — 1)(a + 1)}{a + 2} — 1 =
\]

\[
= \frac{a^2 — 9 + a^2 — 1}{a^2 + 3a + 2} — 1 =
\]

\[
= \frac{2a^2 — 10}{a^2 + 3a + 2} — 1 = \frac{a^2 — 3a — 12}{a^2 + 3a + 2}.
\]

\[
д) \ \frac{3(m + 3)}{m^2 + 3m + 9} + \frac{m^3 — 3m^2}{(m^3 — 27)(m — 3)} =
\]

\[
= \frac{3(m + 3)}{m^2 + 3m + 9} + \frac{m^2(m — 3)}{(m — 3)(m^2 + 3m + 9)} =
\]

\[
= \frac{3(m + 3) + m^2}{m^2 + 3m + 9} = \frac{m^2 + 3m + 9}{m^2 + 3m + 9} = 1.
\]

\[
е) \ \frac{9x^2 + 8}{27x^3 — 1} — \frac{1}{3x — 1} + \frac{4}{9x^2 + 3x + 1} =
\]

\[
= \frac{9x^2 + 8 — (9x^2 + 3x + 1) + 4(3x — 1)}{(3x — 1)(9x^2 + 3x + 1)} =
\]

\[
= \frac{9x^2 + 8 — 9x^2 — 3x — 1 + 12x — 4}{(3x — 1)(9x^2 + 3x + 1)} =
\]

\[
= \frac{9x + 3}{(3x — 1)(9x^2 + 3x + 1)} = \frac{3}{9x^2 + 3x + 1}.
\]

a)

Дано:
\[
\frac{1}{2} + \left( \frac{3m}{1 — 3m} + \frac{2m}{3m + 1} \right) \cdot \frac{9m^2 — 6m + 1}{6m^2 + 10m} =
\]

Шаг 1: Упростим выражение внутри скобок.

\[
= \frac{1}{2} + \frac{3m(3m + 1) + 2m(1 — 3m)}{(1 — 3m)(3m + 1)} \cdot \frac{(3m — 1)^2}{2m(3m + 5)}
\]

Шаг 2: Упростим числитель.

\[
= \frac{1}{2} + \frac{9m^2 + 3m + 2m — 6m^2}{-(3m + 1)} \cdot \frac{3m — 1}{2m(3m + 5)}
\]

Шаг 3: Упростим дальнейшие выражения.

\[
= \frac{1}{2} + \frac{m(3m + 5)}{-(3m + 1)} \cdot \frac{3m — 1}{2m(3m + 5)}
\]

Шаг 4: Сокращаем.

\[
= \frac{1}{2} — \frac{3m — 1}{2(3m + 1)} = \frac{3m + 1 + 1 — 3m}{2(3m + 1)} = \frac{2}{2(3m + 1)} = \frac{1}{3m + 1}.
\]

Ответ: \(\frac{1}{3m + 1}\)

б)

Дано:
\[
\frac{1}{x + y} — \frac{y^2}{xy^2 — x^3} \cdot \frac{x — y}{x^2 + xy + y^2} — \frac{x}{y^2 + xy} =
\]

Шаг 1: Упростим выражения в числителе.

\[
= \frac{x(y — x) — y^2}{x \cdot (y — x) \cdot (y + x)} — \frac{y \cdot (x — y) — x^2}{xy(x + y)} — \frac{x}{x + y}
\]

Шаг 2: Упрощаем числители и знаменатели.

\[
= \frac{xy — x^2 — y^2}{x(y — x)(x + y)} — \frac{xy + y^2 — x^2 — xy}{xy(x + y)}
\]

Шаг 3: Упрощаем выражение дальше.

\[
= \frac{xy + y^2 — xy + x^2}{y^2 — x^2} = \frac{x^2 + y^2}{y^2 — x^2}.
\]

Ответ: \(\frac{x^2 + y^2}{y^2 — x^2}\)

в)

Дано:
\[
\frac{2a + 3}{2a — 3} \cdot \left( \frac{2a^2 + 3a}{4a^2 + 12a + 9} — \frac{3a + 2}{2a + 3} \right) + \frac{4a — 1}{2a — 3} — \frac{a — 1}{a} =
\]

Шаг 1: Преобразуем числители.

\[
= \frac{2a + 3}{2a — 3} \cdot \frac{2a^2 + 3a — (2a + 3)(3a + 2)}{(2a + 3)^2} + \frac{4a — 1}{2a — 3} — \frac{a — 1}{a}
\]

Шаг 2: Упрощаем числитель.

\[
= \frac{2a^2 + 3a — 6a^2 — 4a — 9a — 6}{(2a — 3)(2a + 3)} + \frac{4a — 1}{2a — 3} — \frac{a — 1}{a}
\]

Шаг 3: Продолжаем упрощение.

\[
= \frac{-4a^2 — 10a — 6}{(2a — 3)(2a + 3)} + \frac{4a — 1}{2a — 3} — \frac{a — 1}{a}
\]

Шаг 4: Упрощаем окончательное выражение.

\[
= \frac{-4a^2 — 10a — 6 + 8a^2 + 12a — 2a — 3}{(2a — 3)(2a + 3)} — \frac{a — 1}{a}
\]

Шаг 5: Финальная упрощенная форма.

\[
= \frac{4a^2 — 9}{4a^2 — 9} — \frac{a — 1}{a} = 1 — \frac{1}{a} = \frac{a + 1}{a}.
\]

Ответ: \(\frac{1}{a}\)

г)

Дано:
\[
\frac{a + 3}{a^2 + 2a + 1} + \frac{a — 1}{a^2 — 2a — 3} — 1 =
\]

Шаг 1: Преобразуем выражения в числителе.

\[
= \frac{(a + 3)(a — 3) + (a — 1)(a + 1)}{a + 2} — 1
\]

Шаг 2: Упрощаем числитель.

\[
= \frac{a^2 — 9 + a^2 — 1}{a^2 + 3a + 2} — 1
\]

Шаг 3: Упрощаем окончательно.

\[
= \frac{2a^2 — 10}{a^2 + 3a + 2} — 1 = \frac{a^2 — 3a — 12}{a^2 + 3a + 2}.
\]

Ответ: \(\frac{a^2 — 3a — 12}{a^2 + 3a + 2}\)

д)

Дано:
\[
\frac{3(m + 3)}{m^2 + 3m + 9} + \frac{m^3 — 3m^2}{(m^3 — 27)(m — 3)} =
\]

Шаг 1: Преобразуем и упрощаем числители.

\[
= \frac{3(m + 3)}{m^2 + 3m + 9} + \frac{m^2(m — 3)}{(m — 3)(m^2 + 3m + 9)}
\]

Шаг 2: Упрощаем числители.

\[
= \frac{3(m + 3) + m^2}{m^2 + 3m + 9} = \frac{m^2 + 3m + 9}{m^2 + 3m + 9} = 1.
\]

Ответ: \(1\)

е) \( \frac{9x^2 + 8}{27x^3 — 1} — \frac{1}{3x — 1} + \frac{4}{9x^2 + 3x + 1} = \)

Шаг 1: Упрощение выражения.

\[
= \frac{9x^2 + 8 — (9x^2 + 3x + 1) + 4(3x — 1)}{(3x — 1)(9x^2 + 3x + 1)}
\]

Шаг 2: Раскрытие скобок.

\[
= \frac{9x^2 + 8 — 9x^2 — 3x — 1 + 12x — 4}{(3x — 1)(9x^2 + 3x + 1)}
\]

Шаг 3: Упрощение числителя.

\[
= \frac{9x + 3}{(3x — 1)(9x^2 + 3x + 1)}
\]

Шаг 4: Окончательное упрощение.

\[
= \frac{3}{9x^2 + 3x + 1}
\]

Ответ: \(\frac{3}{9x^2 + 3x + 1}\)