ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 893 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сравните числа: а) 3!/6! и 10^-2; б) 15!/10! и 10^5.

a)
\[
\frac{3!}{6!} \, \text{и} \, 10^{-2};
\]

\[
\frac{3!}{6!} = \frac{1}{6 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{1}{120};
\]

\[
10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100};
\]
Ответ: \[
\frac{3!}{6!} < 10^{-2}.
\]

б)
\[
\frac{15!}{10!} \, \text{и} \, 10^5;
\]

\[
15! = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11;
\]

\[
10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10;
\]
Ответ:

\[
\frac{15!}{10!} > 10^5.
\]

а) Сравним \( \frac{3!}{6!} \) и \( 10^{-2} \):

Дано выражение:

\[
\frac{3!}{6!} \quad \text{и} \quad 10^{-2}
\]

Шаг 1: Вычислим значение \( \frac{3!}{6!} \):

Факториалы \( 3! \) и \( 6! \) представляют собой произведения чисел:

• \( 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \);
• \( 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \).

Подставляем эти значения в выражение \( \frac{3!}{6!} \):

\[
\frac{3!}{6!} = \frac{6}{720} = \frac{1}{120}
\]

Шаг 2: Вычислим значение \( 10^{-2} \):

Показательная запись \( 10^{-2} \) означает, что число 10 возводится в степень -2:

\[
10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100}
\]

Шаг 3: Сравниваем два выражения:

Теперь сравним \( \frac{1}{120} \) и \( \frac{1}{100} \). Поскольку 120 больше 100, то дробь \( \frac{1}{120} \) меньше, чем \( \frac{1}{100} \). Это означает, что:

\[
\frac{3!}{6!} < 10^{-2}
\]

Ответ: \( \frac{3!}{6!} < 10^{-2} \).

б) Сравним \( \frac{15!}{10!} \) и \( 10^5 \):

Дано выражение:

\[
\frac{15!}{10!} \quad \text{и} \quad 10^5
\]

Шаг 1: Разложим факториалы \( 15! \) и \( 10! \):

Факториал \( 15! \) — это произведение всех чисел от 1 до 15:

\[
15! = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

Тогда \( 10! \) — это произведение чисел от 1 до 10:

\[
10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

Теперь подставим их в выражение \( \frac{15!}{10!} \):

\[
\frac{15!}{10!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{10!}
\]

Сократим \( 10! \) в числителе и знаменателе:

\[
\frac{15!}{10!} = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11
\]

Шаг 2: Вычислим произведение:

Умножим числа последовательно:

• \( 15 \cdot 14 = 210 \);
• \( 210 \cdot 13 = 2730 \);
• \( 2730 \cdot 12 = 32760 \);
• \( 32760 \cdot 11 = 360360 \).

Таким образом, \( \frac{15!}{10!} = 360360 \).

Шаг 3: Вычислим \( 10^5 \):

\[
10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100000
\]

Шаг 4: Сравниваем два выражения:

Поскольку \( 360360 > 100000 \), мы можем сделать вывод:

\[
\frac{15!}{10!} > 10^5
\]

Ответ: \( \frac{15!}{10!} > 10^5 \).