ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 565 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите первые шесть членов последовательности, заданной формулой n-го члена:

а) $x_n = 2n-1;$

б) $x_n = n^2+1;$

в) $x_n = \dfrac{n}{n+1};$

г) $x_n = (-1)^{n+1}\cdot 2;$

д) $x_n = 2^{n-3};$

е) $x_n=0,5\cdot 4^n$

Первые шесть членов:

а) $x_n = 2n-1;$
$x_1 = 2 \cdot 1 — 1 = 2-1=1;$
$x_2 = 2 \cdot 2 — 1 = 4-1=3;$
$x_3 = 2 \cdot 3 — 1 = 6-1=5;$
$x_4 = 2 \cdot 4 — 1 = 8-1=7;$
$x_5 = 2 \cdot 5 — 1 = 10-1=9;$
$x_6 = 2 \cdot 6 — 1 = 12-1=11;$
Ответ: 1; 3; 5; 7; 9; 11.

б) $x_n = n^2+1;$
$x_1 = 1^2+1 = 1+1=2;$
$x_2 = 2^2+1 = 4+1=5;$
$x_3 = 3^2+1 = 9+1=10;$
$x_4 = 4^2+1 = 16+1=17;$
$x_5 = 5^2+1 = 25+1=26;$
$x_6 = 6^2+1 = 36+1=37;$
Ответ: 2; 5; 10; 17; 26; 37.

в) $x_n = \dfrac{n}{n+1};$
$x_1 = \dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2};$
$x_2 = \dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3};$
$x_3 = \dfrac{3}{3+1}=\dfrac{3}{4};$
$x_4 = \dfrac{4}{4+1}=\dfrac{4}{5};$
$x_5 = \dfrac{5}{5+1}=\dfrac{5}{6};$
$x_6 = \dfrac{6}{6+1}=\dfrac{6}{7};$
Ответ: $\tfrac{1}{2}; \tfrac{2}{3}; \tfrac{3}{4}; \tfrac{4}{5}; \tfrac{5}{6}; \tfrac{6}{7}.$

г) $x_n = (-1)^{n+1}\cdot 2;$
$x_1 = (-1)^{1+1}\cdot 2 = (-1)^2 \cdot 2=2;$
$x_2 = (-1)^{2+1}\cdot 2 = (-1)^3 \cdot 2=-2;$
$x_3 = (-1)^{3+1}\cdot 2 = (-1)^4 \cdot 2=2;$
$x_4 = (-1)^{4+1}\cdot 2 = (-1)^5 \cdot 2=-2;$
$x_5 = (-1)^{5+1}\cdot 2 = (-1)^6 \cdot 2=2;$
$x_6 = (-1)^{6+1}\cdot 2 = (-1)^7 \cdot 2=-2;$
Ответ: 2; -2; 2; -2; 2; -2.

д) $x_n = 2^{n-3};$
$x_1 = 2^{1-3}=2^{-2}=\dfrac{1}{4}=0,25;$
$x_2 = 2^{2-3}=2^{-1}=\dfrac{1}{2}=0,5;$
$x_3 = 2^{3-3}=2^0=1;$
$x_4 = 2^{4-3}=2^1=2;$
$x_5 = 2^{5-3}=2^2=4;$
$x_6 = 2^{6-3}=2^3=8;$
Ответ: 0,25; 0,5; 1; 2; 4; 8.

е) $x_n = 0,5 \cdot 4^n;$
$x_1 = 0,5 \cdot 4^1 = 0,5 \cdot 4=2;$
$x_2 = 0,5 \cdot 4^2 = 0,5 \cdot 16=8;$
$x_3 = 0,5 \cdot 4^3 = 0,5 \cdot 64=32;$
$x_4 = 0,5 \cdot 4^4 = 0,5 \cdot 256=128;$
$x_5 = 0,5 \cdot 4^5 = 0,5 \cdot 1024=512;$
$x_6 = 0,5 \cdot 4^6 = 0,5 \cdot 4096=2048;$
Ответ: 2; 8; 32; 128; 512; 2048.

а) $x_n = 2n — 1$

Это арифметическая последовательность.
Каждое значение получается по формуле:
Умножаем номер члена $n$ на 2 и вычитаем 1

1) $x_1 = 2 \cdot 1 — 1$

• Сначала: $2 \cdot 1 = 2$
• Потом: $2 — 1 = \boxed{1}$

2) $x_2 = 2 \cdot 2 — 1$

• $2 \cdot 2 = 4$
• $4 — 1 = \boxed{3}$

3) $x_3 = 2 \cdot 3 — 1$

• $2 \cdot 3 = 6$
• $6 — 1 = \boxed{5}$

4) $x_4 = 2 \cdot 4 — 1$

• $2 \cdot 4 = 8$
• $8 — 1 = \boxed{7}$

5) $x_5 = 2 \cdot 5 — 1$

• $2 \cdot 5 = 10$
• $10 — 1 = \boxed{9}$

6) $x_6 = 2 \cdot 6 — 1$

• $2 \cdot 6 = 12$
• $12 — 1 = \boxed{11}$

Ответ: $\boxed{1;\ 3;\ 5;\ 7;\ 9;\ 11}$

б) $x_n = n^2 + 1$

Это квадратичная последовательность.
Нужно:

1. Возвести $n$ в квадрат
2. Прибавить 1

1) $x_1 = 1^2 + 1$

• $1^2 = 1 \cdot 1 = 1$
• $1 + 1 = \boxed{2}$

2) $x_2 = 2^2 + 1$

• $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$
• $4 + 1 = \boxed{5}$

3) $x_3 = 3^2 + 1$

• $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
• $9 + 1 = \boxed{10}$

4) $x_4 = 4^2 + 1$

• $4^2 = 16$
• $16 + 1 = \boxed{17}$

5) $x_5 = 5^2 + 1$

• $5^2 = 25$
• $25 + 1 = \boxed{26}$

6) $x_6 = 6^2 + 1$

• $6^2 = 36$
• $36 + 1 = \boxed{37}$

Ответ: $\boxed{2;\ 5;\ 10;\ 17;\ 26;\ 37}$

в) $x_n = \frac{n}{n+1}$

Это дробная последовательность.
Каждое значение: делим число $n$ на $n + 1$

1) $x_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

• Сначала: $1 + 1 = 2$
• Дробь: $\frac{1}{2} = \boxed{\frac{1}{2}}$

2) $x_2 = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$

• $2 + 1 = 3$
• $\frac{2}{3} = \boxed{\frac{2}{3}}$

3) $x_3 = \frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$

• $3 + 1 = 4$
• $\frac{3}{4} = \boxed{\frac{3}{4}}$

4) $x_4 = \frac{4}{4+1} = \frac{4}{5}$

• $4 + 1 = 5$
• $\boxed{\frac{4}{5}}$

5) $x_5 = \frac{5}{5+1} = \frac{5}{6}$

• $\boxed{\frac{5}{6}}$

6) $x_6 = \frac{6}{6+1} = \frac{6}{7}$

• $\boxed{\frac{6}{7}}$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{2};\ \frac{2}{3};\ \frac{3}{4};\ \frac{4}{5};\ \frac{5}{6};\ \frac{6}{7}}$

г) $x_n = (-1)^{n+1} \cdot 2$

Это чередующаяся последовательность:

• $(-1)^{чётное} = 1$
• $(-1)^{нечётное} = -1$

1) $x_1 = (-1)^{1+1} \cdot 2 = (-1)^2 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = \boxed{2}$

2) $x_2 = (-1)^{2+1} \cdot 2 = (-1)^3 \cdot 2 = (-1) \cdot 2 = \boxed{-2}$

3) $x_3 = (-1)^4 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = \boxed{2}$

4) $x_4 = (-1)^5 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = \boxed{-2}$

5) $x_5 = (-1)^6 \cdot 2 = 1 \cdot 2 = \boxed{2}$

6) $x_6 = (-1)^7 \cdot 2 = -1 \cdot 2 = \boxed{-2}$

Ответ: $\boxed{2;\ -2;\ 2;\ -2;\ 2;\ -2}$

д) $x_n = 2^{n — 3}$

Это показательная последовательность.
Нужно возвести 2 в степень $n — 3$

1) $x_1 = 2^{1 — 3} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = \boxed{0{,}25}$

2) $x_2 = 2^{-1} = \frac{1}{2} = \boxed{0{,}5}$

3) $x_3 = 2^0 = 1$

4) $x_4 = 2^1 = 2$

5) $x_5 = 2^2 = 4$

6) $x_6 = 2^3 = 8$

Ответ: $\boxed{0{,}25;\ 0{,}5;\ 1;\ 2;\ 4;\ 8}$

е) $x_n = 0.5 \cdot 4^n$

Это экспоненциальная последовательность.
Каждое значение — $0.5$ умножить на степень четвёрки

1) $x_1 = 0.5 \cdot 4^1 = 0.5 \cdot 4 = \boxed{2}$

2) $x_2 = 0.5 \cdot 4^2 = 0.5 \cdot 16 = \boxed{8}$

3) $x_3 = 0.5 \cdot 4^3 = 0.5 \cdot 64 = \boxed{32}$

4) $x_4 = 0.5 \cdot 4^4 = 0.5 \cdot 256 = \boxed{128}$

5) $x_5 = 0.5 \cdot 4^5 = 0.5 \cdot 1024 = \boxed{512}$

6) $x_6 = 0.5 \cdot 4^6 = 0.5 \cdot 4096 = \boxed{2048}$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 2;8;32;128;512;2048}}$