ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1074 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Три целых числа составляют арифметическую прогрессию, первый член которой 1. Если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Арифметическая прогрессия:
\[
a_1 = 1, \quad a_2 = 1 + d, \quad a_3 = 1 + 2d;
\]

В геометрической прогрессии:
\[
b_1 = 1, \quad b_2 = 4 + d, \quad b_3 = (1 + 2d)^2;
\]

\[
b_2^2 = b_1b_3, \quad (4 + d)^2 = 1 \cdot (1 + 2d)^2;
\]

\[
16 + 8d + d^2 = 1 + 4d + 4d^2;
\]

\[
3d^2 — 4d — 15 = 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot 3 \cdot 15 = 16 + 180 = 196, \text{ тогда: }
\]

\[
d_1 = \frac{-4 — 14}{2 \cdot 3} = -3, \quad d_2 = \frac{-4 + 14}{2 \cdot 3} = 3;
\]

\[
d = 3, \quad a_2 = 1 + 3 = 4, \quad a_3 = 1 + 6 = 7;
\]

Ответ:
\[
1; \, 4; \, 7.
\]

Заданы арифметическая и геометрическая прогрессии:

Арифметическая прогрессия:

\[
a_1 = 1, \quad a_2 = 1 + d, \quad a_3 = 1 + 2d;
\]

Геометрическая прогрессия:

\[
b_1 = 1, \quad b_2 = 4 + d, \quad b_3 = (1 + 2d)^2;
\]

Шаг 1: Свойство геометрической прогрессии:

В геометрической прогрессии выполняется условие: \( b_2^2 = b_1b_3 \). Подставляем это в наше уравнение:

\[
(4 + d)^2 = 1 \cdot (1 + 2d)^2;
\]

Шаг 2: Раскрытие скобок:

Теперь раскрываем скобки в уравнении:

\[
16 + 8d + d^2 = 1 + 4d + 4d^2;
\]

Шаг 3: Приведение подобных членов:

Переносим все элементы на одну сторону и упрощаем уравнение:

\[
16 + 8d + d^2 — 1 — 4d — 4d^2 = 0;
\]

Упрощаем:

\[
3d^2 — 4d — 15 = 0;
\]

Шаг 4: Решение квадратного уравнения:

Решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[
D = (-4)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196;
\]

Теперь находим корни уравнения:

\[
d_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 — 14}{6} = -3, \quad d_2 =\]

\[\frac{-(-4) + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 + 14}{6} = 3;
\]

Шаг 5: Находим значения \( a_2 \) и \( a_3 \):

Для \( d = 3 \) подставляем это значение в формулы для \( a_2 \) и \( a_3 \):

\[
a_2 = 1 + 3 = 4, \quad a_3 = 1 + 6 = 7;
\]

Ответ:

\[
1; \, 4; \, 7.
\]