ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1072 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию.

Пусть стороны треугольника:
\[
a_1 = x_1, \quad a_2 = x_1q, \quad a_3 = x_1q^2;
\]

1) Высоты данного треугольника:
\[
S = \frac{1}{2} a_1 \cdot h_1 = \frac{1}{2} a_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2} a_3 \cdot h_3;
\]

\[
h_1 = \frac{2 \cdot S}{a_1}, \quad h_2 = \frac{2 \cdot S}{a_2}, \quad h_3 = \frac{2 \cdot S}{a_3};
\]

\[
h_1 = \frac{2S}{x_1}, \quad h_2 = \frac{2S}{x_1q}, \quad h_3 = \frac{2S}{x_1q^2};
\]

2) Образуют прогрессию:
\[
\frac{h_2}{h_1} = \frac{\frac{2S}{x_1q}}{\frac{2S}{x_1}} = \frac{1}{q};
\]

\[
\frac{h_3}{h_2} = \frac{\frac{2S}{x_1q^2}}{\frac{2S}{x_1q}} = \frac{1}{q}.
\]

Что и требовалось доказать.

Заданы стороны треугольника:

\[
a_1 = x_1, \quad a_2 = x_1q, \quad a_3 = x_1q^2
\]

1) Высоты данного треугольника:

Площадь треугольника выражается через его стороны и высоты:

\[
S = \frac{1}{2} a_1 \cdot h_1 = \frac{1}{2} a_2 \cdot h_2 = \frac{1}{2} a_3 \cdot h_3
\]

Отсюда можно выразить высоты через площадь:

\[
h_1 = \frac{2 \cdot S}{a_1}, \quad h_2 = \frac{2 \cdot S}{a_2}, \quad h_3 = \frac{2 \cdot S}{a_3}
\]

Подставляем значения для \( a_1 \), \( a_2 \) и \( a_3 \):

\[
h_1 = \frac{2S}{x_1}, \quad h_2 = \frac{2S}{x_1q}, \quad h_3 = \frac{2S}{x_1q^2}
\]

2) Проверим, образуют ли высоты прогрессию:

Теперь проверим, образуют ли высоты геометрическую прогрессию. Для этого нужно найти отношение высот:

Для \( \frac{h_2}{h_1} \):

\[
\frac{h_2}{h_1} = \frac{\frac{2S}{x_1q}}{\frac{2S}{x_1}} = \frac{1}{q}
\]

Для \( \frac{h_3}{h_2} \):

\[
\frac{h_3}{h_2} = \frac{\frac{2S}{x_1q^2}}{\frac{2S}{x_1q}} = \frac{1}{q}
\]

Так как обе величины \( \frac{h_2}{h_1} \) и \( \frac{h_3}{h_2} \) равны \( \frac{1}{q} \), высоты действительно образуют геометрическую прогрессию с коэффициентом \( \frac{1}{q} \).

Ответ:

Что и требовалось доказать.