ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1063 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

За сколько часов может выполнить работу каждый из трёх рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы третий рабочий проработал один 48 ч, то для окончания работы первому потребовалось бы 10 ч, а второму — 15 ч.

1) Первое уравнение:
\[
\frac{48}{z} + \frac{10}{x} = 1, \quad \frac{48}{z} = 1 — \frac{10}{x};
\]

2) Второе уравнение:
\[
\frac{48}{z} + \frac{15}{y} = 1, \quad 1 — \frac{10}{x} + \frac{15}{y} = 1;
\]

\[
\frac{15}{y} — \frac{10}{x} = 0, \quad \frac{15}{y} = \frac{10}{x}, \quad x = \frac{2}{3}y;
\]

3) Третье уравнение:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{2}{z} = 1, \quad \frac{2}{z} = 1 — \frac{1}{x} — \frac{1}{y};
\]

\[
\frac{2}{z} = \frac{5}{2y}, \quad 5z = 4y, \quad z = \frac{4y}{5};
\]

4) Первое уравнение:
\[
\frac{60}{y} = 1 — \frac{15}{y}, \quad \frac{75}{y} = 1, \quad y = 75;
\]

\[
x = \frac{2}{3} \cdot 75 = 50, \quad z = \frac{4}{5} \cdot 75 = 60;
\]

Ответ:

\(50 \, \text{ч}; \, 75 \, \text{ч}; \, 60 \, \text{ч}.\)

1. Введём обозначения: \( x \) — время (часы), за которое первый рабочий выполняет всю работу один; \( y \) — время для второго; \( z \) — время для третьего. Тогда производительности равны \( \frac{1}{x} \), \( \frac{1}{y} \), \( \frac{1}{z} \) долей работы в час соответственно.

2. По условию производительность третьего равна полусумме производительностей первого и второго: \( \frac{1}{z}=\frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \). Эквивалентная форма (удобная для вычислений): \( \frac{2}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \).

3. Если третий работает один \( 48 \) ч, то он выполняет долю работы \( \frac{48}{z} \). Оставшаяся часть работы одинакова независимо от того, кто её завершает дальше. По условию её мог бы завершить первый за \( 10 \) ч, либо второй за \( 15 \) ч. Значит, остаток равен и \( \frac{10}{x} \), и \( \frac{15}{y} \). Получаем систему
\( \frac{48}{z}+\frac{10}{x}=1 \) и \( \frac{48}{z}+\frac{15}{y}=1 \).

4. Вычтем второе равенство из первого (или просто сравним остатки): \( \frac{10}{x}=\frac{15}{y} \). Отсюда \( \frac{1}{x}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{y} \Rightarrow 10y=15x \Rightarrow 2y=3x \Rightarrow x=\frac{2}{3}y \) (эквивалентно \( y=\frac{3}{2}x \)).

5. Используем связь производительностей с п.2 и найденную пропорцию из п.4:
\( \frac{2}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{\frac{2}{3}y}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2y}+\frac{1}{y}=\frac{5}{2y} \).
Отсюда \( z=\frac{4y}{5} \).

6. Подставим \( x=\frac{2}{3}y \) и \( z=\frac{4y}{5} \) в уравнение \( \frac{48}{z}+\frac{10}{x}=1 \):
\( \frac{48}{\frac{4y}{5}}+\frac{10}{\frac{2}{3}y}=1 \Rightarrow \frac{48\cdot 5}{4y}+\frac{10\cdot 3}{2y}=1 \Rightarrow \frac{60}{y}+\frac{15}{y}=1 \Rightarrow \frac{75}{y}=1 \Rightarrow y=75 \).

7. Найдём остальные времена:
\( x=\frac{2}{3}\cdot 75=50 \), \( z=\frac{4}{5}\cdot 75=60 \).

8. Проверка условий задачи:
по п.2 \( \frac{1}{z}=\frac{1}{60} \), полусумма \( \frac{1}{2}\!\left(\frac{1}{50}+\frac{1}{75}\right)=\frac{1}{2}\!\left(\frac{3}{150}+\frac{2}{150}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{5}{150}=\frac{1}{60} \) — верно;
по п.3 \( \frac{48}{z}+\frac{10}{x}=\frac{48}{60}+\frac{10}{50}=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1 \) и \( \frac{48}{z}+\frac{15}{y}=\frac{48}{60}+\frac{15}{75}=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1 \) — верно.

Ответ: первый рабочий — \( 50 \) ч, второй рабочий — \( 75 \) ч, третий рабочий — \( 60 \) ч.