ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1059 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата её числителя на 1. Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше 1/4, а если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше 1/10. Найдите такие дроби.

Задана дробь:
\[
\frac{x}{y}, \quad y = x^2 — 1;
\]

1) Первое неравенство:
\[
\frac{x+2}{x^2 — 1 + 2} > \frac{1}{4}, \quad \frac{x+2}{x^2 + 1} > \frac{1}{4};
\]

\[
4x + 8 > x^2 + 1, \quad x^2 — 4x — 7 < 0;
\]

\[
D = 4^2 + 4 \cdot (-7) = 16 + 28 = 44, \quad \text{тогда:}
\]

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 2 \pm \sqrt{11};
\]

\[
2 — \sqrt{11} < x < 2 + \sqrt{11}, \quad x \leq 5;
\]

2) Второе неравенство:
\[
\frac{x — 3}{y — 3} > \frac{1}{10}, \quad \frac{x — 3}{x^2 — 4} > \frac{1}{10};
\]

\[
x^2 — 10x + 26 > 0, \quad (x + 2)(x — 2) > 0, \quad x > 2;
\]

3) Значения дробей:
\[
x = 3, \quad y = 9 — 1 = 8;
x = 4, \quad y = 16 — 1 = 15;\]
\[x = 5, \quad y = 25 — 1 = 24;
\]

Ответ:
\[
\frac{3}{8}, \quad \frac{4}{15}, \quad \frac{5}{24}.
\]

Задана дробь:

\[
\frac{x}{y}, \quad y = x^2 — 1;
\]

Шаг 1: Решим первое неравенство:

Первое неравенство:

\[
\frac{x+2}{x^2 — 1 + 2} > \frac{1}{4}, \quad \frac{x+2}{x^2 + 1} > \frac{1}{4}
\]

Упростим выражение:

\[
\frac{x+2}{x^2 + 1} > \frac{1}{4}
\]

Теперь умножим обе части на \( 4(x^2 + 1) \), получаем:

\[
4(x + 2) > x^2 + 1
\]

Упростим:

\[
4x + 8 > x^2 + 1, \quad x^2 — 4x — 7 < 0
\]

Теперь решим квадратное неравенство \( x^2 — 4x — 7 < 0 \). Находим дискриминант:

\[
D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 16 + 28 = 44
\]

Корни уравнения:

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 2 \pm \sqrt{11}
\]

Таким образом, \( 2 — \sqrt{11} < x < 2 + \sqrt{11} \), и \( x \leq 5 \).

Шаг 2: Решим второе неравенство:

Второе неравенство:

\[
\frac{x — 3}{y — 3} > \frac{1}{10}, \quad \frac{x — 3}{x^2 — 4} > \frac{1}{10}
\]

Подставляем \( y = x^2 — 1 \), получаем:

\[
\frac{x — 3}{x^2 — 4} > \frac{1}{10}
\]

Теперь умножим обе части на 10 и на \( x^2 — 4 \), получаем:

\[
10(x — 3) > x^2 — 4
\]

Упростим:

\[
10x — 30 > x^2 — 4, \quad x^2 — 10x + 26 > 0
\]

Решим неравенство \( x^2 — 10x + 26 > 0 \). Мы видим, что дискриминант для этого уравнения отрицателен, поэтому решение существует для всех \( x \).

Следовательно, для второго неравенства \( (x + 2)(x — 2) > 0 \), что даёт \( x > 2 \).

Шаг 3: Находим значения дробей для \( x = 3, 4, 5 \):

Для \( x = 3 \), \( y = 9 — 1 = 8 \), тогда дробь \( \frac{3}{8} \);

Для \( x = 4 \), \( y = 16 — 1 = 15 \), тогда дробь \( \frac{4}{15} \);

Для \( x = 5 \), \( y = 25 — 1 = 24 \), тогда дробь \( \frac{5}{24} \).

Ответ: \( \frac{3}{8}, \quad \frac{4}{15}, \quad \frac{5}{24} \).