ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1058 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений

система

корень 3 степени (x/y) + корень 3 степени (y/x) = 4,25,

x+y=130.

\[
\begin{cases}
\sqrt[3]{\frac{x}{y}} + \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = 4,25; \\
x + y = 130
\end{cases}
\]

1) Пусть \( z = \sqrt[3]{\frac{x}{y}} \), тогда:
\[
z + \frac{1}{z} = 4,25, \quad 4z^2 — 17z + 4 = 0;
\]

\[
D = 17^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225, \quad \text{тогда:}
\]

\[
z_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4} \quad \text{и} \quad z_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4;
\]

2) Первое значение:
\[
\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = \frac{1}{4}, \quad \frac{x}{y} = \frac{1}{64}, \quad y = 64x;
\]

\[
x + 64x = 130, \quad 65x = 130; \quad x = 2, \quad y = 64 \cdot 2 = 128;
\]

3) Второе значение:
\[
\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 4, \quad \frac{x}{y} = 64, \quad x = 64y;
\]

\[
y + 64y = 130, \quad 65y = 130; \quad y = 2, \quad x = 64 \cdot 2 = 128;
\]

Ответ: \((2; 128); \quad (128; 2).\)

Задана система уравнений:

\[
\begin{cases}
\sqrt[3]{\frac{x}{y}} + \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = 4,25, \\
x + y = 130
\end{cases}
\]

Шаг 1: Пусть \( z = \sqrt[3]{\frac{x}{y}} \):

Тогда \( \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = \frac{1}{z} \), и у нас получается уравнение:

\[
z + \frac{1}{z} = 4,25
\]

Умножим обе части на \( z \), получаем:

\[
z^2 + 1 = 4,25z
\]

Приводим к квадратному уравнению:

\[
z^2 — 4,25z + 1 = 0
\]

Умножим на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\[
4z^2 — 17z + 4 = 0
\]

Шаг 2: Находим дискриминант:

Для уравнения \( 4z^2 — 17z + 4 = 0 \) находим дискриминант:

\[
D = (-17)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 — 64 = 225
\]

Корни уравнения:

\[
z_1 = \frac{17 — 15}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}, \quad z_2 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4
\]

Шаг 3: Находим \( x \) и \( y \):

Для \( z_1 = \frac{1}{4} \):

\[
\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = \frac{1}{4}, \quad \frac{x}{y} = \frac{1}{64}, \quad y = 64x
\]

Теперь подставим это в уравнение \( x + y = 130 \):

\[
x + 64x = 130, \quad 65x = 130, \quad x = 2, \quad y = 64 \cdot 2 = 128
\]

Для \( z_2 = 4 \):

\[
\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = 4, \quad \frac{x}{y} = 64, \quad x = 64y
\]

Теперь подставим это в уравнение \( x + y = 130 \):

\[
y + 64y = 130, \quad 65y = 130, \quad y = 2, \quad x = 64 \cdot 2 = 128
\]

Ответ: \( (2, 128) \) и \( (128, 2) \).