ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1057 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений

корень 3 степени x + корень 3 степени y=3,

xy=8.

Решить систему:
\[
\begin{cases}
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\
xy = 8, \quad y = \frac{8}{x};
\end{cases}
\]

Первое уравнение
\[
\sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 3, \quad \sqrt[3]{x}^2 — 3\sqrt[3]{x} + 2 = 0;
\]

\[
D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \quad \text{тогда:}
\]

\[
\sqrt[3]{x_1} = \frac{3 — 1}{2} = 1 \quad \text{и} \quad \sqrt[3]{x_2} = \frac{3 + 1}{2} = 2;
\]

\[
x_1 = 1^3 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = 2^3 = 8;
\]

\[
y_1 = \frac{8}{1} = 8 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{8}{8} = 1;
\]

Ответ:
\((1; 8); \quad (8; 1).\)

Задана система уравнений:

\[
\begin{cases}
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\
xy = 8, \quad y = \frac{8}{x};
\end{cases}
\]

Шаг 1: Подставим \( y = \frac{8}{x} \) во первое уравнение:

Теперь у нас получается:

\[
\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\frac{8}{x}} = 3
\]

Применим свойство корней:

\[
\sqrt[3]{x} + \frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 3
\]

Шаг 2: Подставим \( z = \sqrt[3]{x} \), тогда \( x = z^3 \), и у нас получается уравнение:

\[
z + \frac{2}{z} = 3
\]

Умножим обе части на \( z \), чтобы избавиться от дроби:

\[
z^2 + 2 = 3z
\]

Переносим все элементы на одну сторону:

\[
z^2 — 3z + 2 = 0
\]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

Найдем дискриминант:

\[
D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1
\]

Корни уравнения:

\[
z_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1, \quad z_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2
\]

Таким образом, \( z_1 = 1 \) и \( z_2 = 2 \), а значит:

\[
\sqrt[3]{x_1} = 1 \quad \text{и} \quad \sqrt[3]{x_2} = 2
\]

Таким образом, \( x_1 = 1^3 = 1 \) и \( x_2 = 2^3 = 8 \).

Шаг 4: Находим значения \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = 1 \), \( y_1 = \frac{8}{1} = 8 \);

Для \( x_2 = 8 \), \( y_2 = \frac{8}{8} = 1 \).

Ответ: \( (1, 8) \) и \( (8, 1) \).