ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1046 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область значений функции у=x/(x2+1).

Область определения:
\( y = \frac{x}{x^2 + 1} \), \( x^2 + 1 > 0 \);

\( y(x^2 + 1) = x \), \( yx^2 — x + y = 0 \);

\( D = 1^2 — 4y \cdot y = 1 — 4y^2 \geq 0 \);

\( (2y + 1)(2y — 1) \leq 0 \);

\( -0,5 \leq y \leq 0,5 \);

Ответ: \( E(y) = \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right] \).

Задана функция:

\( y = \frac{x}{x^2 + 1} \)

Область определения функции определяется тем, что знаменатель \( x^2 + 1 \) всегда положителен для всех \( x \), так как \( x^2 + 1 > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \). Таким образом, функция определена для всех действительных значений \( x \).

Шаг 1: Найдем область значений:

Чтобы найти область значений функции, выразим \( y \) через \( x \), рассматривая уравнение:

\( y(x^2 + 1) = x \)

Перепишем его как:

\( yx^2 — x + y = 0 \)

Шаг 2: Найдем дискриминант (D):

Для того чтобы у уравнения было решение, дискриминант должен быть неотрицательным. Для уравнения \( yx^2 — x + y = 0 \) дискриминант будет равен:

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot y \cdot y = 1 — 4y^2 \)

Требуем, чтобы дискриминант был неотрицательным:

\( 1 — 4y^2 \geq 0 \)

Шаг 3: Решим неравенство:

\( 1 — 4y^2 \geq 0 \)

\( 4y^2 \leq 1 \)

\( y^2 \leq \frac{1}{4} \)

Таким образом, \( -\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{1}{2} \).

Ответ: Область значений функции: \( E(y) = \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right] \).