ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 1039 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каком значении а сумма квадратов корней квадратного трёхчлена х2 — (а — 2) х — а — 1 принимает наименьшее значение?

Задан многочлен:
N(x) = x² — (a — 2)x — a — 1;
x₁ + x₂ = a — 2, x₁x₂ = -a — 1;

1) Сумма квадратов корней:
S = x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² — 2x₁x₂ = (a — 2)² + 2(a + 1);
S = a² — 4a + 4 + 2a + 2 = a² — 2a + 6;

2) Наименьшее значение:
a₀ = 2 / 2 = 1, S₀ = 5;

Ответ: a = 1.

Задан многочлен:

\( N(x) = x^2 — (a — 2)x — a — 1 \)

Также даны следующие свойства корней этого многочлена:

• \( x_1 + x_2 = a — 2 \)
• \( x_1 x_2 = -a — 1 \)

1) Сумма квадратов корней:

Сначала применим формулу для суммы квадратов корней:

\( x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 — 2x_1 x_2 \)

Подставим выражения для \( x_1 + x_2 \) и \( x_1 x_2 \):

\( x_1^2 + x_2^2 = (a — 2)^2 — 2(-a — 1) \)

Раскроем скобки и упростим:

\( x_1^2 + x_2^2 = (a — 2)^2 + 2(a + 1) \)

\( x_1^2 + x_2^2 = a^2 — 4a + 4 + 2a + 2 \)

\( x_1^2 + x_2^2 = a^2 — 2a + 6 \)

Ответ: Сумма квадратов корней: \( S = a^2 — 2a + 6 \)

2) Наименьшее значение:

Для нахождения наименьшего значения функции \( S(a) = a^2 — 2a + 6 \) найдем точку минимума. Для этого вычислим производную и приравняем её к нулю:

Производная \( S'(a) = 2a — 2 \)

Приравниваем производную к нулю:

\( 2a — 2 = 0 \)

\( a = 1 \)

Теперь подставим \( a = 1 \) в выражение для \( S(a) \), чтобы найти наименьшее значение:

\( S(1) = 1^2 — 2(1) + 6 = 1 — 2 + 6 = 5 \)

Ответ: Наименьшее значение функции \( S = 5 \) при \( a = 1 \).

Ответ на задачу: \( a = 1 \).