ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 874 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Игральный кубик бросают 3 раза подряд. Какова вероятность того, что каждый раз на нём выпадет число очков:

а) кратное 2; б) кратное 3?

Краткий ответ:

Бросают три кубика:

\( n = \{1; 2; \ldots; 6\} = 6; \)

а) Число, кратное двум:

\( m = \{2; 4; 6\} = 3, \quad \frac{m}{n} = \frac{1}{2}; \)

\( P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}; \)

Ответ: \( \frac{1}{8}. \)

б) Число, кратное трем:

\( m = \{3; 6\} = 2, \quad \frac{m}{n} = \frac{1}{3}; \)

\( P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{27}; \)

Ответ: \( \frac{1}{27}. \)

Подробный ответ:

Условие задачи: Игральный кубик бросают 3 раза подряд. Какова вероятность того, что каждый раз на нём выпадет число очков:
а) кратное 2;
б) кратное 3?

Шаг 1. Подсчитаем общее количество возможных исходов.

У кубика 6 граней (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Каждый бросок независим, так что общее число возможных последовательностей (результатов трёх бросков):
\( 6 \times 6 \times 6 = 216 \)

Шаг 2. Разберём все варианты для каждого случая отдельно.

а) Каждый раз выпадает число, кратное 2.

На одном броске «кратное 2» — это 2, 4, 6.
Таких чисел на кубике 3 из 6.
Вероятность того, что на одном броске выпало кратное 2:
\( P_1 = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

Пусть обозначим выпавшие числа на трёх бросках как \( x_1, x_2, x_3 \).
Требуется, чтобы каждое \( x_i \) было равно 2, 4 или 6.

Число благоприятных вариантов для первого броска — 3;
для второго — 3;
для третьего — 3.
Итого \( 3 \times 3 \times 3 = 27 \) подходящих последовательностей (например, 2-2-2, 2-2-4, …, 6-6-6).

Общее количество всех возможных троек чисел — 216.

Вероятность:
\( P = \frac{27}{216} = \frac{1}{8} \)

Проверим с помощью вероятностей для независимых событий:
Каждый бросок — вероятность \( \frac{1}{2} \), для трёх бросков подряд:
\( P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)

Ответ: \( \frac{1}{8} \)

б) Каждый раз выпадает число, кратное 3.

На одном броске «кратное 3» — это 3 или 6.
Таких чисел — 2.
Вероятность для одного броска:
\( P_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)

Число благоприятных исходов:
Для первого броска — 2 варианта (3 или 6);
для второго — 2 варианта;
для третьего — 2 варианта.
Итого \( 2 \times 2 \times 2 = 8 \) подходящих троек (например, 3-3-3, 3-3-6, …, 6-6-6).

Общее количество всех возможных троек — 216.

Вероятность:
\( P = \frac{8}{216} = \frac{1}{27} \)

Аналогично, если рассчитать как произведение вероятностей:
\( P = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27} \)

Ответ: \( \frac{1}{27} \)

Вывод:
— Для кратных 2 всего 27 благоприятных троек, вероятность \( \frac{1}{8} \).
— Для кратных 3 всего 8 благоприятных троек, вероятность \( \frac{1}{27} \).
— Каждый шаг расписан через перебор всех возможных вариантов и через вероятность независимых событий.

Оцени решение