Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 854 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Число размещений из n элементов по четыре в 14 раз больше числа размещений из n — 2 элементов по три. Найдите n.
Решить уравнение:
\[
A_n^4 = 14 \cdot A_{n-2}^3;
\]
\[
\frac{n!}{(n-4)!} = \frac{14(n-2)!}{(n-5)!}; \quad \frac{n(n-1)}{n-4} = 14;
\]
\[
n^2 — n = 14n — 56, \quad n^2 — 15n + 56 = 0;
\]
\[
D = 15^2 — 4 \cdot 56 = 225 — 224 = 1, \quad \text{тогда:}
\]
\[
n_1 = \frac{15 — 1}{2} = 7 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{15 + 1}{2} = 8;
\]
Ответ: 7 или 8.
Пусть требуется найти такое значение \( n \), при котором число размещений из \( n \) элементов по четыре в 14 раз больше числа размещений из \( n-2 \) элементов по три. Используем формулу числа размещений:
\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
Составим уравнение по условию задачи:
\( A_n^4 = 14 \cdot A_{n-2}^3 \)
Подставляем формулы:
\( \frac{n!}{(n-4)!} = 14 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-5)!} \)
Разделим обе части на \( (n-4)! \), чтобы упростить дробь слева:
\( \frac{n!}{(n-4)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \)
Аналогично, разложим факториал справа:
\( \frac{(n-2)!}{(n-5)!} = (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4) \)
Подставим эти разложения:
\( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) =\)
\(14 \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4) \)
Обе части содержат множители \( (n-2) \) и \( (n-3) \), их можно сократить (при условии, что \( n > 3 \)):
\( n \cdot (n-1) = 14 \cdot (n-4) \)
Раскроем скобки:
\( n^2 — n = 14n — 56 \)
Перенесём все слагаемые в одну сторону уравнения:
\( n^2 — n — 14n + 56 = 0 \)
\( n^2 — 15n + 56 = 0 \)
Получили квадратное уравнение:
\( n^2 — 15n + 56 = 0 \)
Вычислим дискриминант:
\( D = (-15)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 — 224 = 1 \)
Найдём корни:
\( n = \frac{15 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{15 \pm 1}{2} \)
\( n_1 = \frac{15 — 1}{2} = 7 \), \( n_2 = \frac{15 + 1}{2} = 8 \)
Ответ: 7 или 8
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.