ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 854 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Число размещений из n элементов по четыре в 14 раз больше числа размещений из n — 2 элементов по три. Найдите n.

Решить уравнение:

\[
A_n^4 = 14 \cdot A_{n-2}^3;
\]

\[
\frac{n!}{(n-4)!} = \frac{14(n-2)!}{(n-5)!}; \quad \frac{n(n-1)}{n-4} = 14;
\]

\[
n^2 — n = 14n — 56, \quad n^2 — 15n + 56 = 0;
\]

\[
D = 15^2 — 4 \cdot 56 = 225 — 224 = 1, \quad \text{тогда:}
\]

\[
n_1 = \frac{15 — 1}{2} = 7 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{15 + 1}{2} = 8;
\]

Ответ: 7 или 8.

Пусть требуется найти такое значение \( n \), при котором число размещений из \( n \) элементов по четыре в 14 раз больше числа размещений из \( n-2 \) элементов по три. Используем формулу числа размещений:

\( A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)

Составим уравнение по условию задачи:

\( A_n^4 = 14 \cdot A_{n-2}^3 \)

Подставляем формулы:

\( \frac{n!}{(n-4)!} = 14 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-5)!} \)

Разделим обе части на \( (n-4)! \), чтобы упростить дробь слева:

\( \frac{n!}{(n-4)!} = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \)

Аналогично, разложим факториал справа:

\( \frac{(n-2)!}{(n-5)!} = (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4) \)

Подставим эти разложения:

\( n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) =\)

\(14 \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4) \)

Обе части содержат множители \( (n-2) \) и \( (n-3) \), их можно сократить (при условии, что \( n > 3 \)):

\( n \cdot (n-1) = 14 \cdot (n-4) \)

Раскроем скобки:

\( n^2 — n = 14n — 56 \)

Перенесём все слагаемые в одну сторону уравнения:

\( n^2 — n — 14n + 56 = 0 \)

\( n^2 — 15n + 56 = 0 \)

Получили квадратное уравнение:

\( n^2 — 15n + 56 = 0 \)

Вычислим дискриминант:

\( D = (-15)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 — 224 = 1 \)

Найдём корни:

\( n = \frac{15 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{15 \pm 1}{2} \)

\( n_1 = \frac{15 — 1}{2} = 7 \), \( n_2 = \frac{15 + 1}{2} = 8 \)

Ответ: 7 или 8