ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 853 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из них по четыре было в 12 раз больше, чем число размещений из них по два?

\[
A_n^4 = 12 \cdot A_n^2;
\]

\[
\frac{n!}{(n-4)!} = 12 \cdot \frac{n!}{(n-2)!};
\]

\[
n(n-1)(n-2)(n-3) = 12n(n-1);
\]

\[
(n-2)(n-3) = 12, \quad n^2 — 5n — 6 = 0;
\]

\[
D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \quad \text{тогда:}
\]

\[
n_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6;
\]

Ответ: 6 элементов.

Задача: Сколько надо взять элементов, чтобы число размещений из них по четыре было в 12 раз больше, чем число размещений из них по два?

Для решения задачи используем формулы для размещений:

Обозначим количество элементов через \( n \). Тогда число размещений по 4 и по 2 можно записать как:

\( A_n^4 = \frac{n!}{(n-4)!} \) и \( A_n^2 = \frac{n!}{(n-2)!} \)

Задано условие, что число размещений по 4 больше, чем число размещений по 2 в 12 раз, то есть:

\( A_n^4 = 12 \cdot A_n^2 \)

Подставляем выражения для размещений:

\( \frac{n!}{(n-4)!} = 12 \cdot \frac{n!}{(n-2)!} \)

Теперь сократим на \( n! \) с обеих сторон (при условии, что \( n \geq 4 \)):

\( \frac{1}{(n-4)!} = 12 \cdot \frac{1}{(n-2)!} \)

Умножим обе части на \( (n-4)! \) и \( (n-2)! \), чтобы избавиться от факториалов:

\( (n-2)(n-3)(n-4) = 12n(n-1) \)

Раскроем скобки:

\( (n-2)(n-3) = 12 \)

Преобразуем уравнение:

\( n^2 — 5n — 6 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \)

Теперь находим корни уравнения:

\( n_1 = \frac{-5 — 7}{2} = -1 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-5 + 7}{2} = 6 \)

Так как количество элементов \( n \) должно быть положительным числом, то выберем \( n = 6 \).

Ответ: 6 элементов.