ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 840 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) \[
\frac{(n + 1)!}{(n — 1)!} = 42;
\]

\[
(n + 1)n = 42, \quad n^2 + n — 42 = 0;
\]

\[
D = 1^2 + 4 \cdot 42 = 1 + 168 = 169, \quad \text{тогда:}
\]

\[
n_1 = \frac{-1 — 13}{2} = -7 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-1 + 13}{2} = 6;
\]

Ответ: 6.

б) \[
\frac{(n + 1)! — n!}{(n + 1)!} = \frac{5}{6};
\]

\[
\frac{(n + 1) \cdot n! — n!}{(n + 1) \cdot n!} = \frac{5}{6};
\]

\[
n + 1 = \frac{6}{5} \cdot (n + 1);
\]

\[
6n = 5n + 5, \quad n = 5;
\]

Ответ: 5.

Задача а): Найти значение \( n \) из уравнения:

Решение:

1) Начнем с исходного уравнения:
\[
\frac{(n + 1)!}{(n — 1)!} = 42
\]
Используем свойство факториалов: \( (n + 1)! = (n + 1) \cdot n! \), а также \( (n — 1)! \) можно записать в виде \( (n — 1)! = (n — 1) \cdot (n — 2)! \). Однако, проще заметить, что дробь можно упростить, так как \( (n — 1)! \) в числителе и знаменателе сокращается, и остаётся:
\[
(n + 1) \cdot n = 42
\]

2) Упростим это выражение:
\[
(n + 1)n = 42, \quad n^2 + n — 42 = 0
\]
Это квадратное уравнение. Решим его по формуле дискриминанта.

3) Рассчитаем дискриминант:
\[
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169
\]
Тогда корни уравнения можно найти по формуле:
\[
n_1 = \frac{-1 — \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 — 13}{2} = -7
\]
\[
n_2 = \frac{-1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 + 13}{2} = 6
\]

4) Ответ: так как \( n \) должно быть положительным, то выбираем корень \( n = 6 \).

Ответ: 6

Задача б): Найти значение \( n \) из уравнения:

Решение:

1) Начнем с исходного уравнения:
\[
\frac{(n + 1)! — n!}{(n + 1)!} = \frac{5}{6}
\]
Раскроем факториалы:
\[
\frac{(n + 1) \cdot n! — n!}{(n + 1) \cdot n!} = \frac{5}{6}
\]
Теперь выносим \( n! \) за скобки в числителе:
\[
\frac{n! \cdot ((n + 1) — 1)}{(n + 1) \cdot n!} = \frac{5}{6}
\]
Упрощаем:
\[
\frac{n! \cdot n}{(n + 1) \cdot n!} = \frac{5}{6}
\]
Сокращаем \( n! \):
\[
\frac{n}{n + 1} = \frac{5}{6}
\]

2) Теперь решим полученное уравнение:
\[
6n = 5(n + 1)
\]
Раскроем скобки:
\[
6n = 5n + 5
\]
Переносим все на одну сторону:
\[
6n — 5n = 5, \quad n = 5
\]

Ответ: 5