ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 830 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В вазе 11 гвоздик, из которых 4 красные. В темноте наугад вынимают 3 гвоздики. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них будет красной?

Среди гвоздик:
\[
m = 4 \, \text{— красные}; \, n = 11 \, \text{— всего};
\]

Среди трёх найдётся красная:
\[
P(A) = 1 — \frac{C_3^7}{C_3^{11}} = 1 — \frac{\frac{7!}{3! \cdot 4!}}{\frac{11!}{3! \cdot 8!}};
\]

\[
P(A) = 1 — \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{11 \cdot 10 \cdot 9} = 1 — \frac{7}{33} = \frac{26}{33};
\]

Ответ: \(\frac{26}{33}.\)

Задача: Среди 11 гвоздик 4 красные, остальные — другие. Необходимо найти вероятность того, что среди трёх выбранных гвоздик хотя бы одна окажется красной.

Решение:

1) Общее количество гвоздик: \( n = 11 \), из которых \( m = 4 \) красные.

2) Для нахождения вероятности того, что среди трёх выбранных гвоздик хотя бы одна окажется красной, проще сначала найти вероятность того, что ни одна не окажется красной, а затем вычесть её из 1. Вероятность того, что ни одна выбранная гвоздика не будет красной, можно вычислить через сочетания:

Общее количество способов выбрать 3 гвоздики из 11: \( C_3^{11} = \frac{11!}{3! \cdot 8!} \).

Общее количество способов выбрать 3 не красные гвоздики из 7 (поскольку 4 гвоздики — красные, то остальные 7 не красные): \( C_3^7 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \).

3) Вероятность того, что все три выбранные гвоздики не будут красными:
\[
P(\text{не красные}) = \frac{C_3^7}{C_3^{11}} = \frac{\frac{7!}{3! \cdot 4!}}{\frac{11!}{3! \cdot 8!}} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{11 \cdot 10 \cdot 9} = \frac{7}{33}
\]

4) Теперь вычислим вероятность того, что хотя бы одна из выбранных гвоздик будет красной:
\[
P(A) = 1 — P(\text{не красные}) = 1 — \frac{7}{33} = \frac{26}{33}
\]

Ответ: \( \frac{26}{33} \)