ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 781 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Из группы туристов четырёх дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?

\[C_n^4 = 13 \cdot C_n^2;\]

\[\frac{n!}{4! \cdot (n — 4)!} = \frac{13 \cdot n!}{2! \cdot (n — 2)!};\]

\[\frac{2 \cdot (n — 2)!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot (n — 4)!} = 13;\]

\[\frac{(n — 2) \cdot (n — 3) \cdot (n — 4)!}{12 \cdot (n — 4)!} = 13;\]

\[n^2 — 3n — 2n + 6 = 156, \, n^2 — 5n — 150 = 0;\]

\[D = 5^2 + 4 \cdot 150 = 25 + 600 = 625, \, \text{тогда:}\]

\[n_1 = \frac{-5 — 25}{2} = -10 \, \text{и} \, n_2 = \frac{5 + 25}{2} = \frac{30}{2} = 15;\]

Ответ: 15 туристов.

Задана задача:

Из группы туристов четырёх дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?

Решение:

Используем формулу для сочетаний:

\( C_n^4 = \frac{n!}{4! \cdot (n — 4)!} \) и \( C_n^2 = \frac{n!}{2! \cdot (n — 2)!} \)

По условию задачи, \( C_n^4 = 13 \cdot C_n^2 \). Подставим выражения для сочетаний:

\( \frac{n!}{4! \cdot (n — 4)!} = 13 \cdot \frac{n!}{2! \cdot (n — 2)!} \)

Упростим обе части уравнения, сократив \(n!\) и затем выразив оставшуюся часть:

\( \frac{1}{4! \cdot (n — 4)!} = 13 \cdot \frac{1}{2! \cdot (n — 2)!} \)

Преобразуем уравнение:

\( \frac{2 \cdot (n — 2)!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot (n — 4)!} = 13 \)

Далее, сокращаем \((n — 4)!\) и получаем:

\( \frac{(n — 2) \cdot (n — 3)}{12} = 13 \)

Умножаем обе стороны на 12:

\( (n — 2) \cdot (n — 3) = 156 \)

Раскроем скобки:

\( n^2 — 3n — 2n + 6 = 156 \)

Упростим уравнение:

\( n^2 — 5n — 150 = 0 \)

Теперь решим квадратное уравнение \( n^2 — 5n — 150 = 0 \) с помощью дискриминанта:

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-150) = 25 + 600 = 625 \)

Корни уравнения:

\( n_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 25}{2} = -10 \)

\( n_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{625}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 25}{2} = \frac{30}{2} = 15 \)

Ответ: 15 туристов.