ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 779 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Способов отобрать для турнира
четырех человек из шестнадцати:

а) \( k = 4, \, n = 16, \, C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \)
\[
C_{16}^4 = \frac{16!}{4! \cdot 12!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 1820;
\]
Ответ: 1820 способов.

б) \( k = 4, \, n = 16, \, A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \)
\[
A_{16}^4 = 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 = 43 \, 680;
\]
Ответ: 43 680 способов.

В шахматном кружке занимаются 16 человек. Рассмотрим два случая, когда тренер выбирает команду для турнира:

а) Команду из четырёх человек:

Для того чтобы выбрать команду из четырёх человек из 16, нужно воспользоваться сочетаниями. Количество способов выбрать 4 человека из 16 определяется с помощью формулы сочетаний:

Заданы \( k = 4 \) и \( n = 16 \), и формула для сочетаний:

( C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n — k)!} )

Подставляем значения в формулу:

( C₁₆⁴ = \frac{16!}{4! \cdot 12!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2} = 1820 )

Ответ: 1820 способов.

б) Команду из четырёх человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой досках:

В этом случае, помимо выбора 4 человек, нужно указать их позиции на досках, то есть порядок. Это задача на перестановки. Количество способов выбрать и расставить 4 человека на 4 позиции можно посчитать с помощью формулы для перестановок:

Заданы \( k = 4 \) и \( n = 16 \), и формула для перестановок:

( A_n^k = \frac{n!}{(n — k)!} )

Подставляем значения в формулу:

( A₁₆⁴ = 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 = 43 \, 680 )

Ответ: 43 680 способов.