ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 5 Номер 763 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Семизначных номеров:
\[k = 6, \, n = 9, \, A_k^n = \frac{n!}{(n-k)!};\]

\[N = 9 \cdot A_6^9 = 9 \cdot \frac{9!}{(9-6)!} = 9 \cdot \frac{9!}{3!};\]

\[N = 81 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 544 \, 320;\]

Ответ: 544 320 номеров.

Задача: Сколько существует различных семизначных номеров, если каждая цифра в номере различна, и на первом месте не может стоять 0?

Решение:

В семизначном номере используются только разные цифры. Возможных цифр всего 10 (от 0 до 9), но так как первая цифра не может быть 0, для первой позиции есть только 9 вариантов (1–9).

Итак, на первую позицию номера мы можем поставить любую цифру, кроме нуля: 9 вариантов.

После того как первую цифру выбрали, остальные 6 позиций мы заполняем любыми из оставшихся 9 цифр (то есть без повторов). Порядок заполнения важен.

Число способов выбрать и расставить 6 цифр из 9 (после выбора первой цифры): это размещения без повторений из 9 по 6:

A₆⁹ = 9! / (9-6)! = 9! / 3!

Теперь нужно учесть 9 вариантов для первой цифры. Итак, общее число номеров:

N = 9 × A₆⁹ = 9 × (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4)

Выполним поэтапное умножение:

9 × 9 = 81

81 × 8 = 648

648 × 7 = 4 536

4 536 × 6 = 27 216

27 216 × 5 = 136 080

136 080 × 4 = 544 320

Ответ: 544 320 номеров.