ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 711 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумму первых n членов последовательности (хn) можно найти по формуле Sn = 3/4(5n — 1). Докажите, что последовательность (хn) — геометрическая прогрессия. Найдите знаменатель и первый член этой прогрессии.

Дана прогрессия:

\( S_n = \frac{3}{4}(5^n — 1); \)

1) Значение суммы:

\( S_{n-1} = \frac{3 \cdot (5^{n-1} — 1)}{4}; \)

2) Члены прогрессии:

\( x_n = S_n — S_{n-1} = \frac{3 \cdot (5^n — 5^{n-1})}{4}; \)

\( x_n = \frac{3 \cdot 5^n \cdot (1 — 0.2)}{4} = 0.6 \cdot 5^n; \)

\( x_{n-1} = 0.6 \cdot 5^{n-1}; \, x_1 = 0.6 \cdot 5 = 3; \)

3) Знаменатель прогрессии:

\( q = \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{0.6 \cdot 5^n}{0.6 \cdot 5^{n-1}} = 5^1 = 5; \)

Ответ: \( q = 5; \, x_1 = 3. \)

Задача: Сумму первых \( n \) членов последовательности \( (x_n) \) можно найти по формуле:

\( S_n = \frac{3}{4}(5^n — 1) \).

Решение:

1) Сначала найдём \( S_{n-1} \), используя формулу для суммы:

\( S_{n-1} = \frac{3}{4}(5^{n-1} — 1) \).

2) Теперь найдём \( x_n \), используя разницу между \( S_n \) и \( S_{n-1} \):

\( x_n = S_n — S_{n-1} = \frac{3}{4}(5^n — 1) — \frac{3}{4}(5^{n-1} — 1). \)

Приведём выражение к общему виду:

\( x_n = \frac{3}{4}[(5^n — 1) — (5^{n-1} — 1)] = \frac{3}{4}(5^n — 5^{n-1}). \)

Теперь вынесем общий множитель \( 5^{n-1} \):

\( x_n = \frac{3 \cdot 5^{n-1}(5 — 1)}{4} = \frac{3 \cdot 5^{n-1} \cdot 4}{4} = 0.6 \cdot 5^n. \)

Также найдём \( x_{n-1} \):

\( x_{n-1} = 0.6 \cdot 5^{n-1}. \)

Для нахождения первого члена прогрессии, подставим \( n = 1 \):

\( x_1 = 0.6 \cdot 5 = 3. \)

3) Теперь найдём знаменатель прогрессии \( q \). Это отношение между соседними членами прогрессии:

\( q = \frac{x_n}{x_{n-1}} = \frac{0.6 \cdot 5^n}{0.6 \cdot 5^{n-1}} = 5^1 = 5.\)

Ответ: \( q = 5, \, x_1 = 3. \)