ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 699 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли последовательность (хn) арифметической прогрессией, если сумму первых n её членов можно найти по формуле Sn = n2 — 8n? Найдите пятый член этой последовательности.

Дана прогрессия:

\( S_n = n^2 — 8n, \, n \in \mathbb{N}; \)

1) Значение суммы:

\( S_{n-1} = (n-1)^2 — 8(n-1); \)

\( S_{n-1} = n^2 — 2n + 1 — 8n + 8; \)

\( S_{n-1} = n^2 — 10n + 9; \)

2) Члены прогрессии:

\( x_n = S_n — S_{n-1} = 2n — 9; \)

\( x_{n+1} = 2n + 2 — 9 = 2n — 7; \)

\( x_5 = 2 \cdot 5 — 9 = 10 — 9 = 1; \)

3) Разность прогрессии:

\( d = x_{n+1} — x_n = 9 — 7 = 2; \)

Ответ: \( x_5 = 1. \)

Задача: Является ли последовательность \( (x_n) \) арифметической прогрессией, если сумму первых \( n \) её членов можно найти по формуле \( S_n = n^2 — 8n \)? Найдите пятый член этой последовательности.

Решение:

Для начала определим сумму \( S_{n-1} \) с использованием формулы для \( S_n \). Мы знаем, что:

\( S_n = n^2 — 8n \),

Тогда:

\( S_{n-1} = (n — 1)^2 — 8(n — 1) \).

Раскроем и упростим это выражение:

\( S_{n-1} = (n — 1)^2 — 8(n — 1) = n^2 — 2n + 1 — 8n + 8 = n^2 — 10n + 9 \).

Теперь вычислим член прогрессии \( x_n \), который равен разности суммы первых \( n \) членов и суммы первых \( n-1 \) членов:

\( x_n = S_n — S_{n-1} = (n^2 — 8n) — (n^2 — 10n + 9) \).

Упростим выражение:

\( x_n = n^2 — 8n — n^2 + 10n — 9 = 2n — 9 \).

Теперь найдем пятый член последовательности, подставив \( n = 5 \):

\( x_5 = 2 \cdot 5 — 9 = 10 — 9 = 1 \).

Теперь проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией. Для этого вычислим разность между соседними членами последовательности:

Вычислим \( x_{n+1} \):

\( x_{n+1} = 2(n + 1) — 9 = 2n + 2 — 9 = 2n — 7 \).

Теперь найдем разность между соседними членами прогрессии:

\( d = x_{n+1} — x_n = (2n — 7) — (2n — 9) = 2 \).

Так как разность между соседними членами постоянна и равна 2, то последовательность \( (x_n) \) является арифметической прогрессией.

Ответ: \( x_5 = 1 \).