ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 696 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если сумма первых десяти её членов равна 100 и сумма первых тридцати её членов равна 900.

Задана прогрессия:

\( S_{10} = 100, \, S_{30} = 900; \)

1) Первое равенство:

\( S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 100; \)

\( 2a_1 + 9d = 20, \, 2a_1 = 20 — 9d; \)

\( a_1 = \frac{20 — 9d}{2} = 10 — 4.5d; \)

2) Второе равенство:

\( S_{30} = \frac{2a_1 + 29d}{2} \cdot 30 = 900; \)

\( 20 — 9d + 29d = 60, \, 20d = 40; \)

\( d = 2, \, a_1 = 10 — 9 = 1; \)

3) Сумма сорока членов:

\( S_{40} = \frac{2a_1 + 39d}{2} \cdot 40 = 20(2a_1 + 39d); \)

\( S_{40} = 20 \cdot (2 + 78) = 20 \cdot 80 = 1600; \)

Ответ: 1600.

Задача: Найдите сумму первых сорока членов арифметической прогрессии, если сумма первых десяти её членов равна 100 и сумма первых тридцати её членов равна 900.

Решение:

Задана прогрессия с суммами:

\( S_{10} = 100, \, S_{30} = 900 \).

1) Начнем с первого равенства:

Сумма первых 10 членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\( S_{10} = \frac{2a_1 + 9d}{2} \cdot 10 = 100 \).

Умножим обе части на 2:

\( 2a_1 + 9d = 20 \),

Отсюда получаем:

\( 2a_1 = 20 — 9d \),

\( a_1 = \frac{20 — 9d}{2} = 10 — 4.5d \).

2) Теперь рассмотрим второе равенство:

Сумма первых 30 членов прогрессии:

\( S_{30} = \frac{2a_1 + 29d}{2} \cdot 30 = 900 \).

Умножим обе части на 2:

\( 2a_1 + 29d = 60 \),

Теперь подставим \( 2a_1 = 20 — 9d \) из первого уравнения:

\( 20 — 9d + 29d = 60 \),

\( 20d = 40 \),

\( d = 2 \).

Теперь, зная значение \( d = 2 \), подставим его в выражение для \( a_1 \):

\( a_1 = 10 — 4.5 \cdot 2 = 10 — 9 = 1 \).

3) Сумма сорока членов прогрессии:

Сумма первых 40 членов вычисляется по формуле:

\( S_{40} = \frac{2a_1 + 39d}{2} \cdot 40 \).

Подставим значения \( a_1 = 1 \) и \( d = 2 \):

\( S_{40} = 20(2a_1 + 39d) = 20(2 \cdot 1 + 39 \cdot 2) = \)

\(20(2 + 78) = 20 \cdot 80 = 1600 \).

Ответ: \( S_{40} = 1600 \).