ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 688 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите разность арифметической прогрессии (xn) и её первый член, если десятый член этой прогрессии равен 1 и сумма первых шестнадцати её членов равна 4.

1) Первое равенство:
\[x_{10} = x_1 + d(9 — 1) = 1;\]

\[x_1 + 8d = 1,\]

\[x_1 = 1 — 8d;\]

2) Второе равенство:
\[
S_{16} = \frac{2x_1 + 15d}{2} \cdot 16 = 4;
\]

\[2 \cdot (2(1 — 9d) + 15d) = 1;\]

\[2 \cdot (2 — 18d + 15d) = 1;\]

\[2 \cdot (2 — 3d) = 1;\]

\[4 — 6d = 1;\]

\[6d = 3, \quad d = 0.5;\]

\[x_1 = 1 — 4.5 = -3.5;\]

Ответ: \[x_1 = -3.5; \quad d = 0.5.\]

Задача: Найдите разность арифметической прогрессии \( (x_n) \) и её первый член, если десятый член этой прогрессии равен 1, а сумма первых шестнадцати её членов равна 4.

Решение:

Известно, что для арифметической прогрессии \( x_n \) выполняются следующие формулы:

• Общий член прогрессии: \( x_n = x_1 + (n-1)d \), где \( x_1 \) — первый член, \( d \) — разность прогрессии, \( n \) — номер члена;
• Сумма первых \( n \) членов прогрессии: \( S_n = \frac{n(2x_1 + (n-1)d)}{2} \), где \( n \) — количество членов, \( x_1 \) — первый член, \( d \) — разность.

1) Первое равенство:

Для 10-го члена прогрессии знаем, что \( x_{10} = 1 \). Используя формулу для общего члена прогрессии:

\( x_{10} = x_1 + (10-1)d = 1 \),

что упрощается до:

\( x_1 + 9d = 1 \),

откуда получаем:

\( x_1 = 1 — 9d \). (1)

2) Второе равенство:

Для суммы первых 16 членов прогрессии \( S_{16} = 4 \). Используем формулу для суммы первых \( n \) членов прогрессии:

\( S_{16} = \frac{16(2x_1 + (16-1)d)}{2} = 4 \),

упрощаем:

\( 8(2x_1 + 15d) = 4 \),

или:

\( 2x_1 + 15d = \frac{4}{8} = 0.5 \). (2)

Теперь подставим из уравнения (1) значение \( x_1 = 1 — 9d \) в уравнение (2):

\( 2(1 — 9d) + 15d = 0.5 \),

раскрываем скобки:

\( 2 — 18d + 15d = 0.5 \),

собираем все слагаемые с \( d \) и получаем:

\( 2 — 3d = 0.5 \),

вычитаем 2 из обеих частей:

\( -3d = -1.5 \),

делим обе части на -3:

\( d = 0.5 \). (3)

3) Подставим значение \( d = 0.5 \) в выражение для \( x_1 \):

Из уравнения (1):

\( x_1 = 1 — 9d = 1 — 9 \cdot 0.5 = 1 — 4.5 = -3.5 \).

Ответ: \( x_1 = -3.5 \), \( d = 0.5 \).