ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 686 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

На одной стороне угла от вершины отложены двенадцать равных отрезков и через их концы (кроме вершины угла) проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону угла. Найдите сумму длин всех параллельных отрезков, заключённых между сторонами угла, если длина наименьшего из них равна 3 см.

1) Треугольники подобны:
\(\angle A_nO B_n = \angle A_1O B_1 = \angle O\);

\(A_nB_n \parallel A_1B_1\), \(\angle OA_nB_n = \angle OA_1B_1\);

\[
\frac{A_nB_n}{A_1B_1} = \frac{OA_n}{OA_1} = n, \quad A_nB_n = n \cdot A_1B_1;
\]

2) Арифметическая прогрессия:
\(a_1 = A_1B_1 = 3\), \(d = A_{n+1}B_{n+1} — A_nB_n\);

\[
d = (n + 1) \cdot A_1B_1 — n \cdot A_1B_1 = A_1B_1 = 3;
\]

\[
S_{12} = \frac{2a + 11d}{2} \cdot 12 = 6(6 + 33) = 234;
\]

Ответ: 234 см.

1) Треугольники подобны:
У нас есть два треугольника: \( \triangle A_nO B_n \) и \( \triangle A_1O B_1 \). По условию задачи, углы между ними равны, то есть:
\[
\angle A_nO B_n = \angle A_1O B_1 = \angle O
\]
Также известно, что стороны этих треугольников пропорциональны:
\[
A_nB_n \parallel A_1B_1, \quad \angle OA_nB_n = \angle OA_1B_1
\]
Следовательно, по теореме о подобии треугольников, их стороны пропорциональны:
\[
\frac{A_nB_n}{A_1B_1} = \frac{OA_n}{OA_1} = n, \quad A_nB_n = n \cdot A_1B_1
\]

2) Арифметическая прогрессия:
Первый член прогрессии \( a_1 = A_1B_1 = 3 \), разность прогрессии \( d = A_{n+1}B_{n+1} — A_nB_n \).
Вычислим разность:
\[
d = (n + 1) \cdot A_1B_1 — n \cdot A_1B_1 = A_1B_1 = 3
\]

3) Теперь найдем сумму первых 12 членов прогрессии:
Используем формулу для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
\[
S_n = \frac{2a + (n — 1) \cdot d}{2} \cdot n
\]
Для \( S_{12} \) подставляем \( a = 6 \), \( d = 3 \) и \( n = 12 \):
\[
S_{12} = \frac{2a + 11d}{2} \cdot 12 = 6(6 + 33) = 234
\]

Ответ: \( S_{12} = 234 \) см