Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 680 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найти член прогрессии:
а) \(-10\frac{1}{2}; -10\frac{1}{4}; -10; \ldots;\)
\( a_1 = -10\frac{1}{2}, \, a_2 = -10\frac{1}{4}; \)
\( d = 10\frac{1}{2} — 10\frac{1}{4} = \frac{1}{4}; \)
Положительные члены:
\( a_n = a_1 + d(n — 1) > 0; \)
\( -10\frac{1}{2} + \frac{1}{4}(n — 1) > 0; \)
\( -10.5 + 0.25(n — 1) > 0; \)
\( 0.25n — 0.25 > 10.5; \)
\( 0.25n > 10.75, \, n > 43; \)
Искомый член прогрессии:
\( a_{44} = a_1 + 43d = -10\frac{1}{2} + \frac{43}{4}; \)
Ответ: \(\frac{1}{4}\).
б) \(8\frac{1}{2}; 8\frac{1}{3}; 8\frac{1}{6}; \ldots;\)
\( a_1 = 8\frac{1}{2}, \, a_2 = 8\frac{1}{3}; \)
\( d = 8\frac{1}{3} — 8\frac{1}{2} = -\frac{1}{6}; \)
Отрицательные члены:
\( a_n = a_1 + d(n — 1) < 0; \)
\( 8\frac{1}{2} — \frac{1}{6}(n — 1) < 0; \)
\( \frac{1}{6} — \frac{1}{6}n < -\frac{17}{2}; \)
\( 1 — n < -51, \, n > 52; \)
Искомый член прогрессии:
\( a_{53} = a_1 + 52d = 8\frac{1}{2} — \frac{52}{6}; \)
\( a_{53} = \frac{51}{6} — \frac{52}{6} = -\frac{1}{6}; \)
Ответ: \(-\frac{1}{6}\).
а)
Задана арифметическая прогрессия: \( -10 \frac{1}{2}, -10 \frac{1}{4}, -10, \ldots \). Найдем положительные члены последовательности и вычислим искомый 44-й член.
1) Первый член \( a_1 = -10 \frac{1}{2} = -10,5 \), второй член \( a_2 = -10 \frac{1}{4} = -10,25 \). Разность прогрессии \( d \) вычислим так:
\[
d = a_2 — a_1 = -10 \frac{1}{4} — (-10 \frac{1}{2}) = -10,25 — (-10,5) = 0,25
\]
2) Положительные члены последовательности находятся по условию:
\[
a_n = a_1 + d(n — 1) > 0
\]
Подставляем \( a_1 = -10,5 \) и \( d = 0,25 \):
\[
-10,5 + 0,25(n — 1) > 0
\]
Упростим неравенство:
\[
0,25n — 0,25 > 10,5
\]
Прибавляем 0,25 к обеим частям:
\[
0,25n > 10,75
\]
Делим на 0,25:
\[
n > 43
\]
Итак, первые положительные члены последовательности начинаются с \( n = 44 \).
3) Найдем 44-й член:
\[
a_{44} = a_1 + 43d = -10,5 + 43 \cdot 0,25
\]
\[
a_{44} = -10 + 3/4 = -9 \frac{1}{4}
\]
Ответ: \(\frac{1}{4} \)
б)
Задана арифметическая прогрессия: \( 8 \frac{1}{2}, 8 \frac{1}{3}, 8 \frac{1}{6}, \ldots \). Найдем отрицательные члены последовательности и вычислим искомый 53-й член.
1) Первый член \( a_1 = 8 \frac{1}{2} = 8,5 \), второй член \( a_2 = 8 \frac{1}{3} = 8,3333 \). Разность прогрессии \( d \) вычислим так:
\[
d = a_2 — a_1 = 8 \frac{1}{3} — 8 \frac{1}{2} = 8,3333 — 8,5 = -\frac{1}{6}
\]
2) Отрицательные члены последовательности находятся по условию:
\[
a_n = a_1 + d(n — 1) < 0
\]
Подставляем \( a_1 = 8,5 \) и \( d = -\frac{1}{6} \):
\[
8,5 — \frac{1}{6}(n — 1) < 0
\]
Упростим неравенство:
\[
\frac{1}{6} — n < -\frac{17}{2}
\]
Переносим все члены:
\[
1 — n < -\frac{51}{2}
\]
Прибавляем 1:
\[
-n < -\frac{51}{2} — 1 = -\frac{53}{2} \] Делим на -1: \[ n > 52
\]
Итак, первые отрицательные члены последовательности начинаются с \( n = 53 \).
3) Найдем 53-й член:
\[
a_{53} = a_1 + 52d = 8,5 — 52 \cdot \frac{1}{6}
\]
\[
a_{53} = \frac{51}{2} — \frac{52}{6} = -\frac{1}{6}
\]
Ответ: \( a_{53} = -\frac{1}{6} \)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.