ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 659 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сократите дробь:

а) \( \frac{2^{n+2} — 2^{n-2}}{2^n}; \)

б) \( \frac{25^n — 5^{2n-1}}{5^{2n}}. \)

a)
\[
\frac{2^{n+2} — 2^{n-2}}{2^n} = \frac{2^n \cdot (2^2 — 2^{-2})}{2^n} = 2^2 — \frac{1}{2^2} = 4 — \frac{1}{4} = 3 \frac{3}{4} = 3,75;
\]
Ответ: 3,75.

б)
\[
\frac{25^n — 5^{2n-1}}{5^{2n}} = \frac{5^{2n} \cdot (1 — 5^{-1})}{5^{2n}} = 1 — \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0,8;
\]
Ответ: 0,8.

a)

Рассмотрим выражение:

\[
\frac{2^{n+2} — 2^{n-2}}{2^n}.
\]

Вынесем общий множитель \(2^n\) из числителя:

\[
2^{n+2} — 2^{n-2} = 2^n \cdot 2^2 — 2^n \cdot 2^{-2} = 2^n \left(2^2 — 2^{-2}\right).
\]

Подставим это обратно в дробь:

\[
\frac{2^n \left(2^2 — 2^{-2}\right)}{2^n}.
\]

Сократим \(2^n\):

\[
2^2 — 2^{-2} = 4 — \frac{1}{4} = \frac{16}{4} — \frac{1}{4} = \frac{15}{4} = 3 \frac{3}{4} = 3,75.
\]

Ответ: 3,75.

б)

Рассмотрим выражение:

\[
\frac{25^n — 5^{2n-1}}{5^{2n}}.
\]

Запишем степени 25 как степени 5, учитывая, что \(25 = 5^2\):

\[
25^n = (5^2)^n = 5^{2n}.
\]

Подставим в числитель:

\[
5^{2n} — 5^{2n — 1} = 5^{2n} \left(1 — 5^{-1}\right).
\]

Теперь запишем всю дробь:

\[
\frac{5^{2n} \left(1 — 5^{-1}\right)}{5^{2n}}.
\]

Сократим \(5^{2n}\):

\[
1 — 5^{-1} = 1 — \frac{1}{5} = \frac{5}{5} — \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = 0,8.
\]

Ответ: 0,8.