ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 648 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой:

а) b1= 8, q =1/2;

б) b1 = 500, q=1/5.

Сумма пяти членов:

а) \( b_1 = 8, \, q = \frac{1}{2}; \)

\( S_5 = \frac{b_1(1 — q^5)}{1 — q} = \frac{8\left(1 — \frac{1}{2^5}\right)}{1 — \frac{1}{2}}; \)

\( S_5 = 8 \cdot 2 \cdot \left(1 — \frac{1}{32}\right) = 16 \cdot \frac{31}{32}; \)

\( S_5 = 2^4 \cdot \frac{31}{2^5} = \frac{31}{2} = 15.5; \)

Ответ: 15.5.

б) \( b_1 = 500, \, q = \frac{1}{5}; \)

\( S_5 = \frac{b_1(1 — q^5)}{1 — q} = \frac{500\left(1 — \frac{1}{5^5}\right)}{1 — \frac{1}{5}}; \)

\( S_5 = \frac{500 \cdot 5}{4} \cdot \left(1 — \frac{1}{3125}\right) = 625 \cdot \frac{3124}{3125}; \)

\( S_5 = 5^4 \cdot \frac{3124}{5^5} = \frac{3124}{5} = 624.8; \)

Ответ: 624.8.

Задача: Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, у которой:

а) \( b_1 = 8 \), \( q = \frac{1}{2} \);

б) \( b_1 = 500 \), \( q = \frac{1}{5} \).

Решение:

Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\( S_n = \frac{b_1(1 — q^n)}{1 — q} \),

где \( b_1 \) — первый член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии, \( n \) — количество членов, которые нужно сложить.

Теперь давайте решим задачу для каждого случая отдельно.

1) Сумма первых пяти членов при \( b_1 = 8 \) и \( q = \frac{1}{2} \):

Для того чтобы найти сумму первых пяти членов прогрессии, нам нужно использовать формулу суммы \( S_5 \) для \( n = 5 \):

\( S_5 = \frac{b_1(1 — q^5)}{1 — q} \),

где \( b_1 = 8 \), \( q = \frac{1}{2} \), и \( n = 5 \). Подставим эти значения в формулу:

\( S_5 = \frac{8\left(1 — \left(\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1 — \frac{1}{2}} \)

Теперь упростим числитель и знаменатель:

1. В числителе у нас выражение \( 1 — \left(\frac{1}{2}\right)^5 \), сначала найдем \( \left(\frac{1}{2}\right)^5 \):

\( \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32} \),

поэтому числитель становится:

\( 1 — \frac{1}{32} = \frac{32}{32} — \frac{1}{32} = \frac{31}{32} \)

2. Знаменатель: \( 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).

Теперь подставим эти значения в исходную формулу:

\( S_5 = \frac{8 \cdot \frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} \)

Чтобы разделить на \( \frac{1}{2} \), умножим на 2:

\( S_5 = 8 \cdot 2 \cdot \frac{31}{32} = 16 \cdot \frac{31}{32} \)

Теперь упростим это выражение:

\( 16 \cdot \frac{31}{32} = \frac{16 \cdot 31}{32} = \frac{496}{32} = \frac{31}{2} = 15.5 \)

Ответ для первого случая: 15.5.

2) Сумма первых пяти членов при \( b_1 = 500 \) и \( q = \frac{1}{5} \):

Теперь решим для второго случая. Используем ту же формулу суммы, где \( b_1 = 500 \), \( q = \frac{1}{5} \), и \( n = 5 \):

\( S_5 = \frac{500\left(1 — \left(\frac{1}{5}\right)^5\right)}{1 — \frac{1}{5}} \)

Упростим числитель и знаменатель:

1. В числителе у нас выражение \( 1 — \left(\frac{1}{5}\right)^5 \), сначала найдем \( \left(\frac{1}{5}\right)^5 \):

\( \left(\frac{1}{5}\right)^5 = \frac{1}{3125} \),

поэтому числитель становится:

\( 1 — \frac{1}{3125} = \frac{3125}{3125} — \frac{1}{3125} = \frac{3124}{3125} \)

2. Знаменатель: \( 1 — \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \).

Теперь подставим эти значения в исходную формулу:

\( S_5 = \frac{500 \cdot \frac{3124}{3125}}{\frac{4}{5}} \)

Чтобы разделить на \( \frac{4}{5} \), умножим на \( \frac{5}{4} \):

\( S_5 = 500 \cdot \frac{3124}{3125} \cdot \frac{5}{4} \)

Теперь упростим это выражение:

\( S_5 = \frac{500 \cdot 5 \cdot 3124}{3125 \cdot 4} = \frac{2500 \cdot 3124}{12500} = 625 \cdot \frac{3124}{3125} \)

Теперь вычислим эту дробь:

\( S_5 = 625 \cdot \frac{3124}{3125} = 625 \cdot \left(1 — \frac{1}{3125}\right) = 625 \cdot \left(\frac{3124}{3125}\right) = \frac{3124}{5} = 624.8 \)

Ответ для второго случая: 624.8.