ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 642 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В равносторонний треугольник, сторона которого равна 16 см, вписан другой треугольник, вершинами которого являются середины сторон первого. Во второй треугольник таким же способом вписан третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Найдите периметр восьмого треугольника.

1) В геометрической прогрессии:
\[
c_1 = 16 \cdot 3 = 48 \, \text{см}, \, q = \frac{3b_{n+1}}{3b_n} = \frac{1}{2};
\]

2) Для восьмого треугольника:
\[
c_8 = c_1 q^{7} = 48 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{48}{128} = \frac{3}{8};
\]

Ответ: \(\frac{3}{8} \, \text{см.}\)

1) В геометрической прогрессии:

Даны: \( c_1 = 16 \cdot 3 = 48 \, \text{см} \) — первый член прогрессии, знаменатель прогрессии \( q = \frac{3b_{n+1}}{3b_n} = \frac{1}{2} \) — это коэффициент, на который каждый следующий член прогрессии получается умножением предыдущего.

Формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
\[
c_n = c_1 \cdot q^{n-1}.
\]

Здесь \( c_n \) — это n-й член прогрессии, \( c_1 \) — первый член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии, \( n \) — номер члена.

2) Для восьмого треугольника:

Для нахождения восьмого члена прогрессии (с учетом, что \( n = 8 \)), используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии:
\[
c_8 = c_1 \cdot q^{7}.
\]

Подставляем известные значения:
\[
c_8 = 48 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7.
\]

Вычислим степень знаменателя:
\[
\left(\frac{1}{2}\right)^7 = \frac{1}{128}.
\]

Теперь подставим это в формулу для \( c_8 \):
\[
c_8 = 48 \cdot \frac{1}{128} = \frac{48}{128} = \frac{3}{8}.
\]

Ответ: \( \frac{3}{8} \, \text{см.} \)