Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.
Основные характеристики:
- Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
- Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.
Заключение:
Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 641 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.
1) В геометрической прогрессии:
\[
c_1 = 8 \cdot 3 = 24 \, \text{см}, \, q = \frac{3b_{n+1}}{3b_n} = \frac{\sqrt{3}}{2};
\]
2) Для шестого треугольника:
\[
c_6 = c_1 q^{6-1} = c_1 q^5 = 24 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5;
\]
\[
c_6 = \frac{24 \cdot 9\sqrt{3}}{32} = \frac{3 \cdot 9\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4};
\]
Ответ: \(\frac{27\sqrt{3}}{4} \, \text{см.}\)
Задача: Дан равносторонний треугольник со стороной 8 см. Из его высот построен второй треугольник. Из высот второго треугольника построен третий и т. д. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию, и найдите периметр шестого треугольника.
Решение:
1) Рассмотрим первый равносторонний треугольник. Его периметр \( P_1 \) равен:
\( P_1 = 3 \cdot 8 = 24 \, \text{см} \), где 8 см — это длина стороны треугольника.
Пусть периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Для этого нужно доказать, что каждый следующий периметр получаем путем умножения предыдущего на постоянный коэффициент \( q \), который будет равен отношению длины высоты треугольника к его стороне.
В равностороннем треугольнике высота \( h \) вычисляется по формуле:
\( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \), где \( a \) — длина стороны треугольника.
Для первого треугольника высота будет:
\( h_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 4\sqrt{3} \, \text{см}. \)
Периметр второго треугольника, построенного из высот первого, будет равен сумме длин его сторон. Стороны второго треугольника равны высотам первого треугольника, то есть они составляют \( 4\sqrt{3} \, \text{см} \). Таким образом, каждый новый периметр будет уменьшаться на коэффициент \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), так как высота равностороннего треугольника пропорциональна его стороне.
Таким образом, периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию с первым членом \( P_1 = 24 \, \text{см} \) и знаменателем \( q = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
2) Периметр шестого треугольника:
Периметр \( P_n \)-го треугольника вычисляется по формуле для n-го члена геометрической прогрессии:
\( P_n = P_1 \cdot q^{n-1} \), где \( P_1 = 24 \) и \( q = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Для шестого треугольника (когда \( n = 6 \)):
\( P_6 = 24 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^5 \)
Вычислим это значение:
\( P_6 = 24 \cdot \frac{(\sqrt{3})^5}{2^5} = 24 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{32} \)
\( P_6 = \frac{24 \cdot 9\sqrt{3}}{32} = \frac{216\sqrt{3}}{32} = \frac{27\sqrt{3}}{4} \, \text{см} \).
Ответ: Периметр шестого треугольника составляет \( \frac{27\sqrt{3}}{4} \, \text{см} \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.