ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 616 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду 1 шар, во втором — 2, в третьем — 3 и т. д. (рис. 77). Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120? Сколько потребуется шаров, чтобы составить треугольник из 30 рядов?

1) Количество рядов:
\[
S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n;
\]

\[\frac{2 + n — 1}{2} \cdot n = 240;\]

\[n(n+1) = 240, \quad n^2 + n — 240 = 0;\]

\[D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 240 = 1 + 960 = 961, \quad тогда:\]

\[n_1 = \frac{-1 — 31}{2} = -16 \quad \text{и} \quad n_2 = \frac{-1 + 31}{2} = 15;\]

2) Количество шаров:
\[
S_{30} = \frac{2a_1 + 29d}{2} \cdot 30 = 15(2a_1 + 29d);
\]

\[S_{30} = 15 \cdot (2 + 29) = 15 \cdot 31 = 465;\]

Ответ: 15 рядов; 465 шаров.

1) Количество рядов:

• Используем формулу для суммы арифметической прогрессии:
  \[
  S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n;
  \]
• Подставляем известные значения: \( a_1 = 2 \), \( d = 1 \), и сумма \( S_n = 240 \):
  \[
  \frac{2 + n — 1}{2} \cdot n = 240.
  \]
• Упрощаем уравнение:
  \[
  \frac{n + 1}{2} \cdot n = 240, \quad n(n + 1) = 240.
  \]
• Переводим это в квадратное уравнение:
  \[
  n^2 + n — 240 = 0.
  \]
• Находим дискриминант:
  \[
  D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 240 = 1 + 960 = 961.
  \]
• Находим корни уравнения:
  \[
  n_1 = \frac{-1 — 31}{2} = -16, \quad n_2 = \frac{-1 + 31}{2} = 15.
  \]
• Так как количество рядов должно быть положительным, то \( n = 15 \).

2) Количество шаров:

• Используем формулу для суммы первых 30 членов:
  \[
  S_{30} = \frac{2a_1 + 29d}{2} \cdot 30 = 15(2a_1 + 29d);
  \]
• Подставляем \( a_1 = 2 \) и \( d = 1 \):
  \[
  S_{30} = 15 \cdot (2 + 29) = 15 \cdot 31 = 465.
  \]

Ответ: 15 рядов; 465 шаров.