1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части
Алгебра
9 класс учебник Макарычев
9 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Год
2019-2024.
Описание

Учебник по алгебре для 9 класса авторов Макарычева и Миндюка представляет собой комплексный ресурс, предназначенный для углубленного изучения алгебры на уровне средней школы. Он охватывает ключевые темы, соответствующие образовательным стандартам, и помогает учащимся подготовиться к экзаменам.

Основные характеристики:

  • Структурированное содержание: Учебник разделен на логически завершенные главы, каждая из которых посвящена отдельной теме, что облегчает процесс обучения и повторения материала.
  • Теоретические материалы: Каждая глава начинается с изложения теоретических основ, что позволяет учащимся понять ключевые концепции и методы решения задач.

Заключение:

Учебник Макарычева и Миндюка по алгебре — это надежный инструмент для изучения предмета, который сочетает в себе теорию, практику и методические рекомендации, что делает его незаменимым помощником для каждого ученика.

ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 4 Номер 609 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача
Найдите сумму:
а) всех натуральных чисел, не превосходящих 150;
б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно;
в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300;
г) всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.
Краткий ответ:

а) \(a_1 = 1, \, d = 1, \, a_n = 150;\)
\(n = 150, \, S_{75} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot 150;\)

\[
S_{75} = 75 \cdot 151 = 11 \, 325;
\]

Ответ: \(11 \, 325.\)

б) \(a_1 = 20, \, d = 1, \, a_n = 120;\)
\(n = 101, \, S_{101} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot 101;\)

\[
S_{101} = \frac{140}{2} \cdot 101 = 7070;
\]

Ответ: \(7070.\)

в) \(a_1 = 4, \, d = 4, \, a_n = 300;\)

\(n = \frac{300}{4} = 75, \, S_{75} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot 75;\)

\[
S_n = \frac{304}{2} \cdot 75 = 152 \cdot 75 = 11 \, 400;
\]

Ответ: \(11 \, 400.\)

г) \(a_1 = 7, \, d = 7, \, a_n = 126;\)

\[
n = \frac{126}{7} = 18, \, S_{18} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot 18;
\]

\[
S_{18} = \frac{133}{2} \cdot 18 = 133 \cdot 9 = 1197;
\]

Ответ: \(1197.\)

Подробный ответ:

Задача: Найдите сумму:

  • а) всех натуральных чисел, не превосходящих 150;
  • б) всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно;
  • в) всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300;
  • г) всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.

Решение:

а) Сумма всех натуральных чисел, не превосходящих 150:

Это сумма первых 150 натуральных чисел. Мы знаем, что для суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии с разностью 1 используется формула:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \),

где \( a_1 = 1 \) — первый член прогрессии, \( a_n = 150 \) — последний член, \( n = 150 \) — количество членов прогрессии.

Подставим в формулу:

\( S_{150} = \frac{1 + 150}{2} \cdot 150 = \frac{151}{2} \cdot 150 = 75 \cdot 151 = 11\,325. \)

Ответ: 11 325.

б) Сумма всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно:

Здесь у нас прогрессия с первым членом \( a_1 = 20 \), последним членом \( a_n = 120 \), разностью \( d = 1 \), и количеством членов \( n = 120 — 20 + 1 = 101 \).

Сумма этих чисел будет вычисляться по формуле:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \),

где \( a_1 = 20 \), \( a_n = 120 \), \( n = 101 \).

Подставляем значения:

\( S_{101} = \frac{20 + 120}{2} \cdot 101 = \frac{140}{2} \cdot 101 = 70 \cdot 101 = 7070. \)

Ответ: 7070.

в) Сумма всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300:

Числа, кратные 4, образуют арифметическую прогрессию, где первый член \( a_1 = 4 \), разность \( d = 4 \), и последний член \( a_n = 300 \). Количество членов прогрессии \( n \) можно найти, разделив 300 на 4:

\( n = \frac{300}{4} = 75. \)

Сумма этих чисел будет вычисляться по формуле:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \),

где \( a_1 = 4 \), \( a_n = 300 \), \( n = 75 \).

Подставляем значения:

\( S_{75} = \frac{4 + 300}{2} \cdot 75 = \frac{304}{2} \cdot 75 = 152 \cdot 75 = 11\,400. \)

Ответ: 11 400.

г) Сумма всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130:

Числа, кратные 7, образуют арифметическую прогрессию с первым членом \( a_1 = 7 \), разностью \( d = 7 \), и последним членом \( a_n = 126 \) (так как 130 не делится на 7). Количество членов прогрессии \( n \) равно:

\( n = \frac{126}{7} = 18. \)

Сумма этих чисел будет вычисляться по формуле:

\( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \),

где \( a_1 = 7 \), \( a_n = 126 \), \( n = 18 \).

Подставляем значения:

\( S_{18} = \frac{7 + 126}{2} \cdot 18 = \frac{133}{2} \cdot 18 = 133 \cdot 9 = 1197. \)

Ответ: 1197.

Итог:

  • а) 11 325;
  • б) 7070;
  • в) 11 400;
  • г) 1197.


Общая оценка
4.3 / 5
Комментарии
Другие учебники
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.