ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 548 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Из пунктов М и N выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один из них пришёл в N через 1 ч 15 мин после встречи, а другой — в М через 48 мин после встречи. Расстояние между пунктами М и N равно 90 км. Найдите скорости автомобилей.

Зададим переменные:

\( x \) км/ч — скорость первого;

\( y \) км/ч — скорость второго;

1) Первое уравнение:

\( 90 — \frac{90}{x + y} \cdot x = \frac{15}{60} \cdot x; \)

\( 90 — \frac{90x}{x + y} = \frac{5x}{4}; \)

\( 18 — \frac{18x}{x + y} = \frac{x}{4}; \)

\( 72(x + y) — 72x = x(x + y); \)

\( 72x + 72y — 72x = x(x + y); \)

\( x(x + y) = 72y; \)

2) Второе уравнение:

\( 90 — \frac{90}{x + y} \cdot y = \frac{48}{60} \cdot y; \)

\( 90 — \frac{90y}{x + y} = \frac{4y}{5}; \)

\( 45 — \frac{45y}{x + y} = \frac{2y}{5}; \)

\( 225(x + y) — 225y = 2y(x + y); \)

\( 225x + 225y — 225y = 2y(x + y); \)

\( 2y(x + y) = 225x; \)

3) Частное уравнений:

\( \frac{x}{2y} = \frac{8y}{25x}, \, 25x^2 = 16y^2; \)

\( 5x = 4y, \, y = \frac{5}{4}x; \)

4) Первое уравнение:

\( x \cdot \frac{9}{4}x = 90x, \, x = 40; \)

\( y = \frac{5}{4} \cdot 40 = 50; \)

Ответ: 40 и 50 км/ч.

Задача: Из пунктов М и N выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Один из них пришёл в N через 1 ч 15 мин после встречи, а другой — в М через 48 мин после встречи. Расстояние между пунктами М и N равно 90 км. Найдите скорости автомобилей.

Решение:

Зададим переменные:

• \( x \) км/ч — скорость первого автомобиля;
• \( y \) км/ч — скорость второго автомобиля.

1) Рассмотрим первое уравнение. После встречи первый автомобиль доезжает до N за 1 ч 15 мин (или \( \frac{5}{4} \) часа). Мы можем записать уравнение для расстояния, которое прошёл первый автомобиль после встречи:

\( 90 — \frac{90}{x + y} \cdot x = \frac{15}{60} \cdot x, \)

где \( \frac{90}{x + y} \) — время, которое оба автомобиля тратили до встречи, а \( \frac{15}{60} \) — время, которое первый автомобиль тратит на оставшийся путь.

Умножим обе части на 60:

\( 90 — \frac{90x}{x + y} = \frac{5x}{4}. \)

Теперь упрощаем это уравнение:

\( 18 — \frac{18x}{x + y} = \frac{x}{4}, \)

умножаем обе части на 4:

\( 72(x + y) — 72x = x(x + y), \)

раскрываем скобки:

\( 72x + 72y — 72x = x(x + y), \)

сокращаем \( 72x \) в обеих частях:

\( x(x + y) = 72y. \)

2) Теперь рассмотрим второе уравнение. После встречи второй автомобиль доезжает до M за 48 минут (или \( \frac{4}{5} \) часа). Запишем уравнение для его пути:

\( 90 — \frac{90}{x + y} \cdot y = \frac{48}{60} \cdot y, \)

умножим обе части на 60:

\( 90 — \frac{90y}{x + y} = \frac{4y}{5}, \)

умножим обе части на 5:

\( 450 — \frac{450y}{x + y} = 4y, \)

переносим все члены на одну сторону:

\( 225(x + y) — 225y = 2y(x + y), \)

раскрываем скобки:

\( 225x + 225y — 225y = 2y(x + y), \)

сокращаем \( 225y \) с обеих сторон:

\( 2y(x + y) = 225x. \)

3) Теперь делим первое уравнение на второе уравнение:

\( \frac{x}{2y} = \frac{8y}{25x}, \)

преобразуем это в квадратное уравнение:

\( 25x^2 = 16y^2, \)

или

\( 5x = 4y, \)

то есть

\( y = \frac{5}{4}x. \)

4) Подставим \( y = \frac{5}{4}x \) в одно из уравнений. Используем \( x(x + y) = 72y \):

\( x \cdot \left( x + \frac{5}{4}x \right) = 72 \cdot \frac{5}{4}x, \)

раскрываем скобки:

\( x \cdot \frac{9}{4}x = 90x, \)

или

\( \frac{9}{4}x^2 = 90x. \)

Теперь умножим обе части на 4:

\( 9x^2 = 360x, \)

делим обе части на 9:

\( x^2 = 40x, \)

делим обе части на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):

\( x = 40. \)

Теперь находим \( y \):

\( y = \frac{5}{4} \cdot 40 = 50. \)

Ответ: Скорости автомобилей: 40 км/ч и 50 км/ч.