ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 547 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, одновременно навстречу друг другу выходят два поезда и встречаются через 3 ч. На весь путь один из поездов тратит на 1 ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость каждого поезда.

1) Первое уравнение:
\[
3(x + y) = 270 \, | : 3; \, x + y = 90, \, y = 90 — x;
\]

2) Второе уравнение:
\[
\frac{270}{x} — \frac{270}{y} = 1 + \frac{21}{60};
\]

\[\frac{270}{x} — \frac{270}{90 — x} = \frac{27}{20}; \]

\[\frac{10}{x} — \frac{10}{90 — x} = \frac{1}{20}; \]

\[200(90 — x) — 200x = x(90 — x); \]

\[18 \, 000 — 200x — 200x = 90x — x^2; \]

\[x^2 — 490x + 18 \, 000 = 0; \]

\[D = 490^2 — 4 \cdot 18 \, 000 = 240 \, 100 — 72 \, 000 = 168 \, 100, \, тогда: x_1 =\]

\[\frac{490 — 410}{2} = 40, \, x_2 = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450; \]

\[y_1 = 90 — 40 = 50 \, и \, y_2 = 90 — 450 = -360; \]

Ответ: 40 и 50 км/ч.

Задача: Из двух городов, расстояние между которыми равно 270 км, одновременно навстречу друг другу выходят два поезда и встречаются через 3 ч. На весь путь один из поездов тратит на 1 ч 21 мин больше, чем другой. Найдите скорость каждого поезда.

Решение:

Обозначим скорость первого поезда через \( x \), а скорость второго — через \( y \). Из условия задачи мы знаем следующее:

• Расстояние между городами — 270 км;
• Поезда встретились через 3 часа;
• Один поезд тратит на 1 час 21 минуту больше времени на весь путь.

1) Из условия, что поезда встретились через 3 часа, можем составить уравнение для их суммарной скорости:

\( 3(x + y) = 270, \)

делим обе части на 3:

\( x + y = 90. \)

Из этого уравнения получаем:

\( y = 90 — x. \)

2) Теперь воспользуемся условием, что один поезд тратит на 1 час 21 минуту больше времени на весь путь. Время, затраченное на весь путь первым поездом, равно \( \frac{270}{x} \), а для второго поезда — \( \frac{270}{y} \). Разница во времени составляет 1 час 21 минуту, что равно \( 1 + \frac{21}{60} = \frac{27}{20} \) часа. Это даёт следующее уравнение:

\( \frac{270}{x} — \frac{270}{y} = \frac{27}{20}. \)

Теперь подставим \( y = 90 — x \) в это уравнение:

\( \frac{270}{x} — \frac{270}{90 — x} = \frac{27}{20}. \)

Умножим обе части на 20 и 20, чтобы избавиться от дробей:

\( 20 \cdot \frac{270}{x} — 20 \cdot \frac{270}{90 — x} = 27. \)

Умножаем и упрощаем:

\( \frac{10}{x} — \frac{10}{90 — x} = \frac{1}{20}. \)

Теперь умножим обе части на 20:

\( 200 \cdot \frac{1}{x} — 200 \cdot \frac{1}{90 — x} = 1, \)

\( 200(90 — x) — 200x = x(90 — x). \)

Раскрываем скобки:

\( 18000 — 200x — 200x = 90x — x^2. \)

Приводим подобные члены:

\( x^2 — 490x + 18000 = 0. \)

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = 490^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18000 = 240100 — 72000 = 168100. \)

Корни уравнения:

\( x_1 = \frac{490 — 410}{2} = 40, \quad x_2 = \frac{490 + 410}{2} = \frac{900}{2} = 450. \)

Теперь находим \( y \) для каждого значения \( x \):

Для \( x_1 = 40 \): \( y_1 = 90 — 40 = 50, \)

для \( x_2 = 450 \): \( y_2 = 90 — 450 = -360 \), что является невозможным, так как скорость не может быть отрицательной.

Ответ: Скорости поездов: \( 40 \) км/ч и \( 50 \) км/ч.