ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 543 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Если числитель обыкновенной дроби увеличить на 7, а знаменатель возвести в квадрат, то получится дробь, равная 3/4. Если же числитель оставить без изменения, а знаменатель увеличить на 6, то получится дробь, равная 1/2. Найдите эту дробь.

1) Второе уравнение:
\[
\frac{x}{y + 6} = \frac{1}{2} \, | \cdot 2(y + 6);
2x = y + 6, \, y = 2x — 6;
\]

2) Первое уравнение:
\[
\frac{x + 7}{y^2} = \frac{3}{4}, \, \frac{x + 7}{(2x — 6)^2} = \frac{3}{4};
4(x + 7) = 3(4x^2 — 24x + 36);\]
\[4x + 28 = 12x^2 — 72x + 108;
12x^2 — 76x + 80 = 0;\]
\[3x^2 — 19x + 20 = 0;
\]

\[D = 19^2 — 4 \cdot 3 \cdot 20 = 361 — 240 = 121, \, тогда: x_1 = \frac{19 — 11}{2 \cdot 3} =\]

\[\frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \, x_2 = \frac{19 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5; y_1 =\]

\[\frac{8}{3} — 6 = \frac{-10}{3}, \, y_2 = 10 — 6 = 4; \]

Ответ: \(\frac{5}{4}\).

Задача:

1) Второе уравнение:

\[
\frac{x}{y + 6} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad 2(y + 6).
\]

Умножаем обе части на \(2(y + 6)\):

\[
2x = y + 6 \quad \Rightarrow \quad y = 2x — 6.
\]

2) Подставляем \(y = 2x — 6\) в первое уравнение:

\[
\frac{x + 7}{y^2} = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{x + 7}{(2x — 6)^2} = \frac{3}{4}.
\]

Умножаем обе части на 4 \((2x — 6)^2\):

\[
4(x + 7) = 3(4x^2 — 24x + 36).
\]

Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
4x + 28 = 12x^2 — 72x + 108.
\]

Переносим все на одну сторону:

\[
12x^2 — 76x + 80 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 — 19x + 20 = 0.
\]

3) Находим дискриминант:

\[
D = (-19)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 20 = 361 — 240 = 121.
\]

4) Находим корни уравнения для \(x\):

\[
x_1 = \frac{19 — 11}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}, \quad x_2 = \frac{19 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5.
\]

5) Подставляем найденные значения \(x_1 = \frac{4}{3}\) и \(x_2 = 5\) в \(y = 2x — 6\):

— Для \(x_1 = \frac{4}{3}\), получаем \(y_1 = \frac{8}{3} — 6 = \frac{-10}{3}\);

— Для \(x_2 = 5\), получаем \(y_2 = 10 — 6 = 4\).

Ответ: Ответ: \(\frac{5}{4}\).