ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 539 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Произведение двух чисел в 15 раз больше их суммы. Если к первому числу прибавить удвоенное второе число, то получится 100. Найдите эти числа.

Пусть даны числа \( x \) и \( y \):

\( \begin{cases} xy = 15(x + y) \\ x + 2y = 100 \end{cases} \);

Второе уравнение:

\( x = 100 — 2 \cdot y; \)

Первое уравнение:

\( y(100 — 2y) = 15(100 — y); \)

\( 100y — 2y^2 = 1500 — 15y; \)

\( 2y^2 — 115y + 1500 = 0; \)

\( D = 115^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1500 = 13225 — 12000 = 1225, \text{ тогда:} \)

\( y_1 = \frac{115 — 35}{2 \cdot 2} = \frac{80}{4} = 20 \) и \( y_2 = \frac{115 + 35}{2 \cdot 2} = \frac{150}{4} = 37.5; \)

\( x_1 = 100 — 40 = 60 \) и \( x_2 = 100 — 75 = 25; \)

Ответ: 60 и 20 или 25 и 37,5.

Задача:

\[
\begin{cases}
xy = 15(x + y), \\
x + 2y = 100.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Из второго уравнения \(x + 2y = 100\), выражаем \(x\):

\[
x = 100 — 2y.
\]

2. Подставляем это выражение для \(x\) в первое уравнение \(xy = 15(x + y)\):

\[
y(100 — 2y) = 15(100 — y).
\]

3. Раскрываем скобки и упрощаем:

\[
100y — 2y^2 = 1500 — 15y \quad \Rightarrow \quad 2y^2 — 115y + 1500 = 0.
\]

4. Находим дискриминант этого квадратного уравнения:

\[
D = 115^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1500 = 13225 — 12000 = 1225.
\]

5. Решаем уравнение для \(y\) с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[
y_1 = \frac{115 — 35}{4} = 20, \quad y_2 = \frac{115 + 35}{4} = 37.5.
\]

6. Подставляем найденные значения \(y_1 = 20\) и \(y_2 = 37.5\) в \(x = 100 — 2y\):

— Для \(y_1 = 20\), получаем \(x_1 = 100 — 2 \cdot 20 = 60\);

— Для \(y_2 = 37.5\), получаем \(x_2 = 100 — 2 \cdot 37.5 = 25\).

Ответ: \((x = 60, y = 20)\) или \((x = 25, y = 37.5)\).