ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 538 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сумма двух положительных чисел в 5 раз больше их разности. Найдите эти числа, если известно, что разность их квадратов равна 180.

Пусть даны числа \( x \) и \( y \):

\( \begin{cases} x + y = 5(x — y) \\ x^2 — y^2 = 180 \end{cases} \);

Первое уравнение:

\( x + y = 5x — 5y; \)

\( 4x = 6y, \, x = \frac{3}{2}y; \)

Второе уравнение:

\( \frac{9}{4}y^2 — y^2 = 180, \, \frac{5}{4}y^2 = 180; \)

\( y^2 = 144, \, y = \sqrt{144} = 12; \)

\( x = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18; \)

Ответ: 18 и 12.

Задача:

\[
\begin{cases}
x + y = 5(x — y), \\
x^2 — y^2 = 180.
\end{cases}
\]

Решение:

1. Рассмотрим первое уравнение \(x + y = 5(x — y)\):

\[
x + y = 5x — 5y \quad \Rightarrow \quad x + y — 5x + 5y = 0 \quad \Rightarrow \quad -4x + 6y =\]

\[0 \quad \Rightarrow \quad 4x = 6y \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2}y.
\]

2. Подставляем \(x = \frac{3}{2}y\) во второе уравнение \(x^2 — y^2 = 180\):

\[
\left(\frac{3}{2}y\right)^2 — y^2 = 180 \quad \Rightarrow \quad \frac{9}{4}y^2 — y^2 = 180.
\]

3. Преобразуем уравнение:

\[
\frac{9}{4}y^2 — \frac{4}{4}y^2 = 180 \quad \Rightarrow \quad \frac{5}{4}y^2 = 180 \quad \Rightarrow \quad y^2 = 180 \cdot \frac{4}{5} = 144.
\]

4. Извлекаем квадратный корень из \(y^2 = 144\):

\[
y = \sqrt{144} = 12.
\]

5. Теперь подставляем \(y = 12\) в \(x = \frac{3}{2}y\):

\[
x = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18.
\]

Ответ: \(x = 18\), \(y = 12\).