ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 537 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Если умножить квадратный трёхчлен ах2 -2х + b на квадратный трёхчлен х2 + ах — 1, то получится многочлен четвёртой степени, в котором коэффициенты при х2 и х соответственно равны 8 и -2. Найдите а и b.

D = (ax² — 2x + b)(x² + ax — 1);
D = ax⁴ + a²x³ — ax² — 2x³ — 2ax² + 2x + bx² + abx — b;
D = ax⁴ + (a² — 2) · x³ + (b — 3a) · x² + (2 + ab) · x — b;

1) Первое уравнение:
b — 3a = 8, b = 3a + 8;

2) Второе уравнение:
2 + ab = -2, 2 + a(3a + 8) = -2;
2 + 3a² + 8a = -2, 3a² + 8a + 4 = 0;
D = 8² — 4 · 3 · 4 = 64 — 48 = 16, тогда:
a₁ = (-8 — 4) / 2 · 3 = -2 и a₂ = (-8 + 4) / 2 · 3 = -2 / 3
b₁ = 3(-2) + 8 = 2 и b₂ = 3(-2 / 3) + 8 = 6

Ответ: a = -2; b = 2 или a = -2/3; b = 6.

Задача:

\[
D = (ax^2 — 2x + b)(x^2 + ax — 1);
\]

Решение:

1. Раскроем скобки и упрощаем:

\[
D = ax^4 + a^2x^3 — ax^2 — 2x^3 — 2ax^2 + 2x + bx^2 + abx — b.
\]

2. Перегруппируем по степеням x:

\[
D = ax^4 + (a^2 — 2) x^3 + (b — 3a) x^2 + (2 + ab) x — b.
\]

3. Получаем систему уравнений для коэффициентов при степенях x:

— Для коэффициента при \(x^2\): \(b — 3a = 8 \quad \Rightarrow \quad b = 3a + 8\).

— Для коэффициента при \(x\): \(2 + ab = -2 \quad \Rightarrow \quad 2 + a(3a + 8) = -2\).

4. Решим для \(a\) и \(b\):

Подставляем \(b = 3a + 8\) в уравнение \(2 + a(3a + 8) = -2\):

\[
2 + 3a^2 + 8a = -2 \quad \Rightarrow \quad 3a^2 + 8a + 4 = 0.
\]

5. Находим дискриминант этого уравнения:

\[
D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 — 48 = 16.
\]

6. Решаем уравнение для \(a\):

\[
a_1 = \frac{-8 — 4}{2 \cdot 3} = -2, \quad a_2 = \frac{-8 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{3}.
\]

7. Теперь подставляем найденные значения \(a\) в \(b = 3a + 8\):

— Для \(a_1 = -2\), получаем \(b_1 = 3(-2) + 8 = 2\);

— Для \(a_2 = \frac{-2}{3}\), получаем \(b_2 = 3\left(\frac{-2}{3}\right) + 8 = 6\).

Ответ: \(a = -2; b = 2\) или \(a = \frac{-2}{3}; b = 6\).