ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 516 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что уравнение не имеет решений:
а) х2 + 4ху + 4у2 + 5 = 0;
б) х2 — 2ху + 8 + у2 = 0;
в) х2 — 2х + у2 — 4у + 6 = 0;
г) х2у2 — 2ху + 3 = 0.

a) x² + 4xy + 4y² + 5 = 0;
(x + 2y)² + 5 ≥ 5 > 0;

б) x² — 2xy + 8 + y² = 0;
x² — 2xy + y² + 8 = 0;
(x — y)² + 8 ≥ 8 > 0;

в) x² — 2x + y² — 4y + 6 = 0;
x² — 2x + 1 + y² — 4y + 4 + 1 = 0;
(x — 1)² + (y — 2)² + 1 ≥ 1 > 0;

г) x²y² — 2xy + 3 = 0;
(xy)² — 2xy + 1 + 2 = 0;
(xy — 1)² + 2 ≥ 2 > 0;

a) x² + 4xy + 4y² + 5 = 0;

(x + 2y)² + 5 ≥ 5 > 0;

Решение первого уравнения: Раскрываем скобки в выражении (x + 2y)², что даёт x² + 4xy + 4y². Поставим это в исходное уравнение: x² + 4xy + 4y² + 5 = 0. Таким образом, получаем уравнение x² + 4xy + 4y² = -5.

Для второго неравенства: (x + 2y)² + 5 ≥ 5, что преобразуется в x² + 4xy + 4y² + 5 ≥ 5, и далее x² + 4xy + 4y² ≥ 0. Это неравенство всегда верно, так как сумма квадратов всегда больше или равна нулю.

б) x² — 2xy + 8 + y² = 0;

x² — 2xy + y² + 8 = 0;

(x — y)² + 8 ≥ 8 > 0;

Решение первого уравнения: Изменяем форму записи: x² — 2xy + y² = (x — y)². Следовательно, уравнение принимает вид (x — y)² + 8 = 0, что невозможно, так как сумма квадрата и положительного числа не может быть равна нулю.

Для второго неравенства: (x — y)² + 8 ≥ 8, и это всегда верно, поскольку (x — y)² всегда неотрицательно и сумма с 8 всегда больше или равна 8.

в) x² — 2x + y² — 4y + 6 = 0;

x² — 2x + 1 + y² — 4y + 4 + 1 = 0;

(x — 1)² + (y — 2)² + 1 ≥ 1 > 0;

Решение первого уравнения: Преобразуем x² — 2x + 1 и y² — 4y + 4 в полные квадраты: (x — 1)² и (y — 2)² соответственно, что даёт уравнение (x — 1)² + (y — 2)² + 1 = 0. Это уравнение также не имеет решения, так как сумма квадратов и положительного числа не может быть равна нулю.

Для второго неравенства: (x — 1)² + (y — 2)² + 1 ≥ 1, что всегда верно, так как (x — 1)² + (y — 2)² всегда больше или равно нулю.

г) x²y² — 2xy + 3 = 0;

(xy)² — 2xy + 1 + 2 = 0;

(xy — 1)² + 2 ≥ 2 > 0;

Решение первого уравнения: Изменим вид выражения x²y² — 2xy + 3, для чего нужно решить его через переменную z, где z = xy. Таким образом, уравнение принимает вид z² — 2z + 3 = 0, которое не имеет действительных корней.

Для второго неравенства: (xy — 1)² + 2 ≥ 2, так как выражение (xy — 1)² всегда больше или равно нулю, и добавление 2 всегда даёт результат больше или равный 2.