ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 469 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объём земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объём работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объёма земляных работ?

1) Первое уравнение:
\(x — y = 4\), \(y = x — 4\);

2) Второе уравнение:
\[
\left(3 + \frac{45}{60}\right) \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1;
\]
\[
\frac{15}{4} \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1, \quad \frac{1}{x} + \frac{1}{x — 4} = \frac{4}{15};
\]
\[
15(x — 4) + 15x = 4x(x — 4);
\]
\[
15x — 60 + 15x = 4x^2 — 16x;
\]
\[
4x^2 — 46x + 60 = 0;
\]
\[
2x^2 — 23x + 30 = 0;
\]

Дискриминант:
\[
D = 23^2 — 4 \cdot 2 \cdot 30 = 529 — 240 = 289,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{23 — 17}{2 \cdot 2} = 1.5, \quad x_2 = \frac{23 + 17}{2 \cdot 2} = 10;
\]

Соответствующие значения \(y\):
\[
y_1 = 1.5 — 4 = -2.5, \quad y_2 = 10 — 4 = 6;
\]

Ответ: 10 ч и 6 ч.

Пусть:

• \(x\) — время работы медленного экскаватора (часы)
• \(y\) — время работы быстрого экскаватора (часы)

Из условия: \(x — y = 4  y = x — 4\).

Уравнение совместной работы

За время \(\frac{15}{4}\) часов оба выполняют весь объём работы:

\[
\frac{15}{4} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1
\]

Подставим \(y = x — 4\):

\[
\frac{15}{4} \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-4}\right) = 1
\]

Решение уравнения

Приводим к общему знаменателю:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x-4} = \frac{(x-4) + x}{x(x-4)} = \frac{2x — 4}{x(x-4)}
\]

Подставляем обратно:

\[
\frac{15}{4} \cdot \frac{2x — 4}{x(x-4)} = 1
\]

Умножаем обе части на \(4x(x-4)\):

\[
15(2x — 4) = 4x(x — 4)
\]

Раскрываем скобки:

\[
30x — 60 = 4x^2 — 16x
\]

Переносим в левую часть:

\[
4x^2 — 46x + 60 = 0
\]

Делим на 2 для упрощения:

\[
2x^2 — 23x + 30 = 0
\]

Дискриминант

\[
D = (-23)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 30 = 529 — 240 = 289
\]

Корни уравнения

\[
x = \frac{23 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{23 \pm 17}{4}
\]

Получаем:

\[
x_1 = \frac{6}{4} = 1.5, \quad x_2 = \frac{40}{4} = 10
\]

Находим \(y\)

\[
y_1 = x_1 — 4 = 1.5 — 4 = -2.5 \quad (\text{не подходит})
\]

\[
y_2 = x_2 — 4 = 10 — 4 = 6
\]

Ответ

Медленный экскаватор работает 10 часов,
быстрый — 6 часов.