ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 467 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Одна из дорожных бригад может заасфальтировать участок дороги на 4 ч быстрее, чем другая. За сколько часов может заасфальтировать участок каждая бригада, если за 24 ч совместной работы они заасфальтировали бы 5 таких участков?

1) Первое уравнение:
\(y — x = 4\), \(y = x + 4\);

2) Второе уравнение:
\[
\frac{24}{x} + \frac{24}{y} = 5, \quad \frac{24}{x} + \frac{24}{x + 4} = 5;
\]

\[
24(x + 4) + 24x = 5x(x + 4);
\]
\[
24x + 96 + 24x = 5x^2 + 20x;
\]
\[
5x^2 — 28x — 96 = 0;
\]

\[
D = 28^2 + 4 \cdot 5 \cdot 96 = 784 + 1920 = 2704,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{-28 — 52}{2 \cdot 5} = -2,4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{28 + 52}{2 \cdot 5} = 8;
\]

\[
y_1 = -2,4 + 4 = 1,6 \quad \text{и} \quad y_2 = 8 + 4 = 12;
\]

Ответ: 8 ч и 12 ч.

Пусть первая бригада может заасфальтировать участок за \( x \) часов. Тогда вторая — за \( y = x + 4 \) часов.

За 24 часа совместной работы они сделали 5 участков, значит:

\[
\frac{24}{x} + \frac{24}{x + 4} = 5
\]

1. Упростим уравнение

Умножим обе части на \( x(x + 4) \), чтобы избавиться от знаменателей:

\[
24(x + 4) + 24x = 5x(x + 4)
\]

Раскроем скобки:

\[
24x + 96 + 24x = 5x^2 + 20x
\]

Приведём подобные и перенесём всё в одну сторону:

\[
5x^2 — 28x — 96 = 0
\]

2. Решим квадратное уравнение

Дискриминант:

\[
D = (-28)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-96) = 784 + 1920 = 2704
\]

Корни:

\[
x_1 = \frac{-28 — \sqrt{2704}}{10} = \frac{-28 — 52}{10} = -8 \quad (\text{не подходит})
\]

\[
x_2 = \frac{-28 + \sqrt{2704}}{10} = \frac{-28 + 52}{10} = 2.4
\]

\[
x_2 = \frac{-28 + 52}{10} = \frac{24}{10} = 2.4 \quad (\text{Тоже не то.})
\]

\[
x_1 = \frac{28 — \sqrt{2704}}{10} = \frac{28 — 52}{10} = -2.4 \quad (\text{Отрицательное, не подходит})
\]

\[
x_2 = \frac{28 + 52}{10} = \frac{80}{10} = 8
\]

Значит:

\[
x = 8, \quad y = x + 4 = 12
\]

Ответ:

Первая бригада: 8 часов

Вторая бригада: 12 часов