ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 3 Номер 457 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны равны \(x\) и \(y\) см:
\(\sqrt{x^2 + y^2} = 10\), \(2x + 2y = 28\);

1) Второе уравнение:
\(x + y = 14\), \(y = 14 — x\);

2) Первое уравнение:
\[
x^2 + (14 — x)^2 = 100;
\]
\[
x^2 + 196 — 28x + x^2 = 100;
\]
\[
2x^2 — 28x + 96 = 0;
\]
\[
x^2 — 14x + 48 = 0;
\]
\[
D = 14^2 — 4 \cdot 48 = 196 — 192 = 4,
\]
тогда:
\[
x_1 = \frac{14 — 2}{2} = 6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{14 + 2}{2} = 8;
\]

\[
y_1 = 14 — 6 = 8 \quad \text{и} \quad y_2 = 14 — 8 = 6;
\]

Ответ: \(6\) см и \(8\) см.

Даны два уравнения:

1) √(x² + y²) = 10
2) 2x + 2y = 28

Шаг 1: Преобразуем второе уравнение

Разделим обе части второго уравнения на 2:

x + y = 14

Выразим \(y\) через \(x\):

y = 14 - x

Шаг 2: Подставим \(y = 14 — x\) в первое уравнение

Подставляем \(y = 14 — x\) в уравнение \(\sqrt{x² + y²} = 10\):

√(x² + (14 - x)²) = 10

Возведём обе части уравнения в квадрат:

x² + (14 - x)² = 100

Раскроем скобки:

x² + (14² - 2 * 14 * x + x²) = 100
x² + 196 - 28x + x² = 100
2x² - 28x + 96 = 0

Разделим уравнение на 2:

x² - 14x + 48 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Уравнение:

x² - 14x + 48 = 0

Найдём дискриминант:

D = b² - 4ac = (-14)² - 4 * 1 * 48 = 196 - 192 = 4

Найдём корни уравнения:

x₁ = (-b - √D) / 2a = (14 - √4) / 2 = (14 - 2) / 2 = 12 / 2 = 6
x₂ = (-b + √D) / 2a = (14 + √4) / 2 = (14 + 2) / 2 = 16 / 2 = 8

Шаг 4: Найдём значения \(y\)

Для каждого значения \(x\) найдём \(y\):

• Если \(x = 6\), то \(y = 14 — x = 14 — 6 = 8\).
• Если \(x = 8\), то \(y = 14 — x = 14 — 8 = 6\).

Ответ

Стороны равны:

6 см и 8 см